6. Дистрибутивные (распределительные) законы умножения относительно вычитания целых неотрицательных чисел , их теоретико-множественная интерпретация.

Для действия умножения выполняются дистрибутивные или распределительные законы умножения относительно вычитания и сложения.

(a + b) * c = a * c + b * c

Для любых целых неотрицательных чисел a, b, c выполняется равенство: произведение суммы чисел а и b и числа с, равно сумме произведений чисел а и с и b и с.

(a - b) * c = a * c - b * c

Для любых целых неотрицательных чисел a, b, c, при условии, что a>=b выполняется равенство: произведение разности и b и числа с, равно разности произведений чисел а и с и b и с.

Рассмотрим теоретико-множественную интерпретацию распределительного закона умножения относительно сложения. Пусть а=1, b=3, c=2

Возьмем множества А, В, С, такие, что: n (A) = 1, n (B) = 3, n (C) = 2

А = (а), В = (b, c, d), C = (2, 8) (фигурн. ск.)

Рассмотрим левую часть равенства: (a + b) * c

1)Найдем сумму чисел a и b:  a + b = n (A U В) - она равна числу элементов множеств А и В. A U В = (a, b, c, d)

2)Умножим полученную сумму на число с: (a + b) * c = n (A U B) * C - произведение равно числу элементов декартового произведения объединения множеств А и В на С.                                  

(A U B) * C =   (a; 2), (a; 8), (b; 2), (b; 8), (c; 2), (c; 8), (d; 2), (d; 8)

Рассмотрим правую часть: a * c + b * c

1) Найдем произведение чисел а и с. а * с = n (A * B) - оно равно числу элементов декартова произведения множеств А и С:

А * С =n      (а; 2), (а; 8)

2) Найдем произведение чисел b и с: b * с = n (B * C) - оно равно числу элементов декартова произведения множеств В и С.  В * С =      (b; 2), (b; 8), (c; 2), (c; 8), (d; 2), (d; 8)

3) Найдем сумму полученных произведений: a * c + b * c = n (A*C) U (B*C) - она равна числу элементов объединения декартова произведения множеств А и С и В и С.

(A*C) U (B*C) =      (a; 2), (a; 8), (b; 2), (b; 8), (c; 2), (c; 8), (d; 2), (d; 8)

Мы видим частях получились равные множества, содержащие по 8 элементов. Это подтверждает правильность рассматриваемого закона.

Методика изучения распределительного свойства умножения относительно сложения в начальном курсе математики.

В начальном классе дети знакомятся  этим законом, который по-другому называется правилом умножения суммы на число.

Рассмотрим возможную методику изучения этого правила:

Учитель предлагает учащимся прочитать записанное на доске выражение:

(4+3) * 2 =  Сумму чисел 4 и 3 умножить на  число 2. Учитель предлагает детям найти значение этого выражения. Учащиеся, зная порядок выполнения действий в выражениях со скобками, находят значение выражения.

Учитель обращает внимание на то, что сумму умножали на число и говорит, что сумму на число можно умножить и по-другому. На доске появляется иллюстрация: в ряду 4 красных круга, 3 зеленых, под ними черта и точно такой же ряд.

- Круги какого цвета вы видите? - (красные и зеленые). Как они расположены7 - (в 2 ряда). Сколько кругов красного цвета в каждом ряду7 - (4).  Зеленого? - (3). Сколько всего рядов? - (2). Наша задача подсчитать количество кругов.  Один способ указан на доске: (4+3) * 2 = 7 * 2 = 14.. посмотрите на запись и попробуйте объяснить выражение (узнали количество кругов в ряду а затем, сколько таких кругов в 2 рядах). Предложить детям догадаться, как можно подсчитать по-другому. Можно предложить подсказку: Посмотрите, наверное не случайно у нас круги разного цвета ( провести линию между кругами разных цветов). Дети предлагают подсчитать сначала число красных кругов, затем - зеленых, получ. результ. сложить. (4 + 3) * 2 = 4 * 2 + 3 * 2 = 8 + 6 = 14

Вывод: сумму на число можно умножить разными способами: 1) Вычислить значение суммы и полученный результат умножить на число, 2) Умножить на число каждое из слагаемых, результаты сложить.

Используя это свойство, учащиеся выполняют устные вычисления умножения двузначного числа на однозначное: 23 * 4 = (20 + 3) * 4. (привести примеры рассуждений: представим число 23 в виде суммы разрядных слагаемых…). Аналогично происходит выполнение устных вычислений умножения трехзначного числа на однозначное.

Второй вопрос:

Данное упражнение относится к проблемно-поисковым, оно нацелено на лучшее усвоение распределительного закона умножения относительно сложения и на умении применять его в нестандартных ситуациях.

Рассуждения: 1) В левой части мы видим, что сумма умножается на число. Мы знаем, что сумму на число можно умножить разными способами. В правой части мы видим, что на число умножили первое слагаемое. Значит, по свойству мы должны умножить второе слагаемое на число аналогично. Получим 49.

2) В левой части мы видим, что сумма умножается на число. Мы знаем, что сумму на число можно умножить разными способами. В правой части мы видим сумму 2 чисел, которая может получиться, если каждое слагаемое умножить на число. Найдем эти слагаемые при помощи деления. (35:5=7, 45:5=9).