14.Алгоритм сложения многозначных чисел в десятиной системе счисления, теоретические положения, лежащие в его основе.

Если числа а и в однозначные , то чтобы найти их сумму достаточно подсчитать число элементов ф - х  пересекаемых множеств А и В таких , что n A = ( A)  n B = (B)

Но ,чтобы каждый раз не прибегать к такому способу ,все полученные результаты записываются  в специальную таблицу, которая называется таблицей сложения однозначных чисел.

Если числа а и в многозначные , то их складывают письменно , записывая пример в столбик.

Рассмотрим какие теоретические положения лежат в основе алгоритма сложения многозначных чисел.

Рассмотрим на конкретном примере. Найдём сумму чисел 326 и 548

326 + 548 = (3 умножить на 10 во второй степени, + 2 умножить на 10 в первой степени. + 6) + ( 5 умножить на 10 во второй степени +4 умножить на 10 в первой степени + 8) =

1)        Представим каждое слагаемое суммой степени числа 10 с соответствующим коэффициентом

2)        По сочетательному свойству сложения раскроем скобки  : 3 умножить на 10 во второй степени + 2 умножить на 19 в первой степени + 6 + 5 умноженное на 10 во второй степени + 4 умноженное на 10 в первой степени +8 =

3)        По переместительному свойству сложения поменяем слагаемые местами = 3 умножить на 10 во второй степени + 5 умноженное на 10 во второй степени + 2 умноженное на 10 в первой степени  + 4 умноженное на 10 в первой степени + 6 +8=

4)        По сочетательному свойству сложения сгруппируем слагаемые = ( 3 умноженное на десять во второй степени + 5 умноженное на 10 во второй степени) + ( 2 умноженное на 10 в первой степени + 4 умноженное на 10 в первой степени) + (6 +8) =

5)        По распредилительному закону умножения относительно сложения  вынесем степень числа 10 за скобку = ( 3+5 ) умножить на 10 во второй степени ( 2 + 4) умноженное на 10 в первой степени + (6 +8) =

6)        Найдём сумму однозначных чисел по таблице сложения = 8 умножить на 10 во второй степени + 6 умноженное на 10 в первой степени + 14 =

Полученная запись не может быть способом записи чисел в д. С. с. , т. к. ни один коэффициент не может быть больше 9 ( а у нас 140), поэтому выполним преобразование:

Представим число 14 на 1 умноженный на 10 в первой степени + 4 = 8 умноженное на 10 во второй степени + 6 умноженное на 10 в первой степени + ( 1 умноженный на 10 в первой степени + 4 ) =

По сочетательному свойству сложения перегруппируем слагаемые 8 умноженное на 10 во второй степени + ( 6 умноженное на10 в первой степени + 1 умноженный на 10 в первой степени ) + 4 =

По распредилительному закону умножения относительно сложения вынесем 10 за скобку  = 8 умножить на 10 во второй степени + ( 6 + 1 ) умножить на 10 + 4

Найдём сумму по таблице сложения = 8 умножить на 10 во второй степени + 7 умноженное на 10 в первой степени +4

Получилась запись числа 874 в д. С. с.

Таким образом в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические положения:

1)        способ записи чисел в д.с.с

2)        сочет. Свойства сложения

3)        перемести тельное свойство сложения

4)        распределит. Закон умножения относительно сложения

5)        таблица сложения однозначных чисел.

Алгоритм сложения сводится к следующему :

1)        Пишем второе слагаемое над первым так , чтобы соответств. Разряды находились друг под другом

2)        Склад. Однозначные числа записанные цифрами соотв. Разрядов, начиная с разряда единиц

Если при сложении при сложении однозначных чисел , полученное число не больше 9, то записываем его под соответствующем разрядом

Если полученное число больше 9 , представляем его в виде 10 +  ку, где ку - однозначное число , которое записываем разрядом , а 10 представляет одну единицу следующего разряда , которую прибавляем к единицам следующего разряда

Методика ознакомления учащихся с алгоритмом письменного сложения. Формирование навыков письменного сложения.

В нач. курсе математики учащиеся знакомятся с алгоритмом письменного сложения . Сначала учитель предлагает детям решить пример , выполнив устное вычитание 54 + 23 = ( 0 + 4 ) = ( 20+ 3 ) = 50 + 70 + 4 + 3 = 77Дети узнают , что удобно десятки складывать с десятками , а единицы с единицами . Затем учитель говорит , что не всегда удобно вычислять устно. Часто бывает удобнее вычислять письменно, записывая пример в столбик ,и показывает форму записи и знакомит с алгоритмом рассуждения. 54 + 23 = 77 ( запис в столбик )

1)        Пишу первое слагаемое под ним пишу второе  слагаемое, так чтобы десятки были под десятками , а единицы под единицами , ставим знак сложения, провожу черту.

2)        Складываю единицы К 4 прибавляем 3 получаем 7 и пишу 7 под единицами

3)        Складываю десятки, к 5 прибавляем 2 , получаем 7, пишу 7 под единицами

4)         Считаю ответ сумма равна 77

Учащиеся знакомятся с алгоритмом сложения на наиболее простом случае сложения без перехода через разряд.

3)        48 + 36 ( в столбик )

4)        Складываю единицы , к 8 прибавляю 6, получается 14, 14 единиц - это 1 десяток и 4 единицы. Пишу 4 под един. , а 1 десяток запоминаю и прибавляю к десяткам , складываю десятки. К 4 приб. 3 , получаю 7 да ещё 1 , получаю 8 , пишу 8 под дес. , считаю ответ.

В дальнейшем  учащиеся рассматривают алгоритм сложения 3, 4 ,5 и т. д. значных чисел.

Добавляются лишь новые разряды. При изучении алг. Допускают следующие ошибки:

1)        пишет второе слагаемое не над соответствующими разрядами первого

2)        Начинают складывать не с единиц

3)        Забывают прибавлять единицу к следующему разряду

Для предупреждения ошибок целесообразно выполнять следующие:

1)        Решать примеры у доски с полным проговариванием алгоритма

2)        Решать ка можно больше примеров , доводя до автоматизации

3)        Предлагать уч. Проблемно - поисковые задания типа:

А) поверьте верно ли решены примеры, если нет, то укажите ошибку

Б) или примеры с окошками ( звёздочками)