Вариант 4.
Группа студентов состоит из 3-х отличников, 12-ти хорошо успевающих и 5-ти занимающихся слабо. Отличники на экзамене могут получить только отличные отметки. Хорошо успевающих студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки, а слабо занимающиеся студенты -–хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Какова вероятность того, что наудачу вызванный студент получит хорошую или отличную оценку?
Два станка, производительности которых относятся как 3:2, штампуют одинаковые детали. Найти вероятность того, что из 10 взятых наудачу из очень большой партии изготовленных этими станками и сложенными вместе деталей: а) не менее 8 деталей сделаны на первом станке; б) не более 7 сделаны на втором станке.
Цех завода производит шарики для подшипников. За смену производится 10000 шариков. Вероятность того, что один шарик окажется дефектным, равна 0,05. Причины дефектов для отдельных шариков независимы. Продукция проходит контроль сразу после изготовления, причем дефектные шарики бракуются и ссыпаются в бункер, а не бракованные отправляются в цех сборки. Определить не какое количество шариков должен быть рассчитан бункер, чтобы с вероятностью 0,9898 после смены он не оказался переполненным.
На одном из 4-х последовательных звеньев линии телефонной связи произошел обрыв. Монтер проверяет по очереди одно звено за другим до тех пор, пока не обнаружит обрыв. Составить закон распределения случайной величины Х – числа проверенных звеньев. Найти дисперсию и функцию распределения. Построить график функции распределения.
Вероятность того, что в аптеке имеется нужное пациенту лекарство, равна 0,85. Почему нельзя с помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что из 200 пациентов число получивших отказы будет от 25 до 40 включительно? Как нужно изменить левую границу, чтобы применение неравенства Чебышева стало возможным? Решить задачу при соответствующем изменении левой границы.
6. Из партии, содержащей 2000 деталей, отобрано по схеме собственно случайной бесповоротной выборки 200 деталей. Распределение их по длине дано в таблице:
Длина детали, мм |
3,2-3,3 |
3,3-3,4 |
3,4-3,5 |
3,5-3,6 |
3,6-3,7 |
Итого |
Число деталей |
4 |
10 |
108 |
60 |
12 |
200 |
Необходимо найти: а) границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключена средняя длина детали во всей партии; б) вероятность того, что доля деталей в выборке, длина которых не менее 3,5 мм, отличается от доли таких деталей во всей партии не более чем на 0,06 (по абсолютной величине).
7. Используя х - критерий Пирсона, на основе выборочных данных, представленных в задаче 6, на уровне зависимости проверить гипотезу о том, что случайная величина Х - длина деталей - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
8. В таблице дано распределение 50 однотипных предприятий промышленности по численности работающих Х (чел) в стоимости товарной продукции У (млн руб.):
Х Y |
18 |
23 |
28 |
33 |
38 |
43 |
48 |
Итого |
125 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
150 |
1 |
2 |
5 |
|
|
|
|
8 |
175 |
|
3 |
2 |
12 |
|
|
|
17 |
200 |
|
|
1 |
8 |
7 |
|
|
16 |
225 |
|
|
|
|
3 |
3 |
|
6 |
250 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
Итого |
1 |
6 |
8 |
20 |
10 |
4 |
1 |
50 |
Необходимо: 1) вычислить групповые средние х и у и построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне оценить его достоверность (значимость) и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и У; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю численность работающих на предприятиях со стоимостью товарной продукции 30 млн. руб.