Вариант 3.
1. Трое рабочих выпускают одинаковые детали. Производительности их труда относятся как 2:1, 5:1. Первый выпускает бракованные детали с вероятностью 0,1, второй - с вероятностью 0,2, третий - с вероятностью 0,15. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь, оказавшаяся бракованной, изготовлена вторым рабочим?
2. В жилом доме работают 4 лифта. Вероятность поломки для каждого из них в течение года равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение года ремонта потребуют: а) не более 3-х лифов; б) ни один лифт.
3. Вероятность выпуска радиолампы с дефектом равна 0,03. Какое наиболее отклонение доли радиоламп с дефектами от вероятности 0,03 можно ожидать с вероятностью 0,9990 в партии из 2000 радиоламп ?
4. Если двигатель при сборке получается стандартным, то цех получает 90 тыс. руб. прибыли, если нестандартным, то терпит убыток в 20 тыс. руб. За час собрали два двигателя. Составить закон распределения случайной величины Х - дохода за час, если вероятность стандартной сборки равна 0,7. Найти среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
5. В плодопитомнике 90% саженцев обладают повышенной морозоустойчивостью. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что из 50 случайно отобранных для посадки саженцев число морозоустойчивых будет от 420 до 480 включительно. Вычислить эту вероятность с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа, сравнить и объяснить полученные результаты.
6. Для определения среднего процента редких элементов в рудном месторождении по схеме бесповоротного отбора было взят 300 проб (объем генеральной совокупности велик по сравнению с выборочной совокупностью), результаты исследования которых приведены в таблице:
Содержание редких элементов в породе, % |
0,4-0,7 |
0,7-1,0 |
1,0-1,3 |
1,3-1,6 |
1,6-1,9 |
Итого |
Кол-во проб |
55 |
105 |
70 |
42 |
28 |
300 |
Найти: 1) вероятность того, что среднее содержание редких элементов в месторождении отличается от среднего содержания в выборке не более чем на 0,05% (по абсолютной величине); 2) границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключена доля проб на всем месторождении, если процентное содержание редких элементов в каждой пробе заключено в пределах от 1,3 до 1,9%. Каким должен быть объем выборки, чтобы те же границы для указанной доли гарантировать с вероятностью 0,9980?
7. Используя х - критерий Пирсона, на основе выборочных данных, представленных в задаче 6, на уровне зависимости проверить гипотезу о том, что случайная величина Х - процентное содержание редких элементов в пробе на всем месторождении - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
8. Распределение 100 участков земли по площади Х (га) и урожайности У (ц с 1 га) приведено таблице:
Х Y |
3-6 |
6-9 |
9-12 |
12-15 |
15-18 |
Итого |
2,4-2,8 |
10 |
4 |
|
|
|
14 |
2,8-3,2 |
19 |
1 |
|
|
|
21 |
3,2-3,6 |
|
30 |
6 |
2 |
|
38 |
3,6-4,0 |
|
|
5 |
10 |
2 |
17 |
4,0-4,4 |
|
|
|
|
9 |
10 |
Итого |
19 |
35 |
12 |
13 |
11 |
100 |
Необходимо: 1) вычислить групповые средние х и у и построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне оценить его достоверность (значимость) и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и У; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю урожайность на участках, имеющих площадь 3,4 га, и сравнить ее с табличными данными.