Вариант 19.
1. По статистике из предприятий розничной торговли и общественного питания 51% - государственные и муниципальные, 39% - потребительской кооперации и 10% - частные. Найти вероятность того, что среди трех наугад взятых предприятий все относятся к одной форме собственности.
2. На почту поступило 8000 писем. Вероятность того, что в наудачу взятом конверте отсутствует почтовый индекс, равна 0,0005. Найти вероятность того, что почтовый индекс отсутствует: а) на трех конвертах; б) не менее, чем на трех конвертах.
3. Телефонная станция обслуживает 2000 абонементов, каждый из которых независимо от других может позвонить в течение часа с вероятностью 0,02. Какова вероятность того, что число звонков, поступивших в АТС в течение часа будет не менее 29 и не более 55? Найти вероятность того, что частность звонков отклонится от вероятности не более чем на 0,001.
4. В двух контейнерах находятся однотипные детали. В первом контейнере в среднем 30% нестандартны деталей, во втором - 20%. Наудачу из каждого контейнера вынимаются по 3 детали. Составить законы распределения случайных величин: Х - числа стандартных деталей, вынутых из первого контейнера, У - числа стандартных деталей, вынутых из второго контейнера, и случайной величины Х - У. Вычислить математические ожидания М (Х), М (У), М (Х - У) и проверить свойство М (Х - У) = М (Х) - М (У).
5. В плодопитомнике 90% саженцев обладают повышенной морозоустойчивостью. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что из 50 случайно отобранных для посадки саженцев число морозоустойчивых будет от 420 до 480 включительно. Вычислить эту вероятность с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа, сравнить и объяснить полученные результаты.
6. Из партии, содержащей 2000 деталей, отобрано по схеме собственно случайной бесповоротной выборки 200 деталей. Распределение их по длине дано в таблице:
Длина детали, мм |
3,2-3,3 |
3,3-3,4 |
3,4-3,5 |
3,5-3,6 |
3,6-3,7 |
Итого |
Число деталей |
4 |
10 |
108 |
60 |
12 |
200 |
Необходимо найти: а) границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключена средняя длина детали во всей партии; б) вероятность того, что доля деталей в выборке, длина которых не менее 3,5 мм, отличается от доли таких деталей во всей партии не более чем на 0,06 (по абсолютной величине).
7. Используя х - критерий Пирсона, на основе выборочных данных, представленных в задаче 6, на уровне зависимости проверить гипотезу о том, что случайная величина Х - длина деталей - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
8. Распределение 100 сосен по диаметру ствола Х (см) и высоте У (м) приводится в следующей таблице:
Х Y |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
Итого |
20 |
8 |
2 |
|
|
|
10 |
30 |
7 |
16 |
9 |
|
|
32 |
40 |
2 |
8 |
12 |
2 |
|
24 |
50 |
|
6 |
12 |
4 |
|
22 |
60 |
|
2 |
4 |
5 |
1 |
12 |
Итого |
17 |
34 |
37 |
11 |
1 |
100 |
Необходимо: 1) вычислить групповые средние х и у и построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне оценить его достоверность (значимость) и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и У; в) используя соответствующее уравнение регрессии, найти высоту сосен с диаметром 55 см.