Вариант 12.
1. Стрелок стреляет трижды по удаляющейся цели, причем вероятность поражения при первом выстреле равна 0,7, при каждом следующем выстреле уменьшается на 0,1. Стрельба прекращается, если цель поражена. Найти вероятность того, что цель будет поражена.
2. В жилом доме работают 4 лифта. Вероятность поломки для каждого из них в течение года равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение года ремонта потребуют: а) не более 3-х лифов; б) ни один лифт.
Цех завода производит шарики для подшипников. За смену производится 10000 шариков. Вероятность того, что один шарик окажется дефектным, равна 0,05. Причины дефектов для отдельных шариков независимы. Продукция проходит контроль сразу после изготовления, причем дефектные шарики бракуются и ссыпаются в бункер, а не бракованные отправляются в цех сборки. Определить не какое количество шариков должен быть рассчитан бункер, чтобы с вероятностью 0,9898 после смены он не оказался переполненным.
4. Даны законы распределения независимых случайных величин Х и У.
Х |
1 |
3 |
5 |
|
У |
-2 |
2 |
Рi |
0,1 |
0,2 |
? |
|
Рj |
0,4 |
? |
Найти вероятности, с которыми случайная величина Х принимает значение 5, а случайная величина У - значение 2. Составить закон распределения случайной величины Z = 2Х - У, определить дисперсию Z по этому закону и с помощью соответствующих свойств дисперсии через законы распределения Х и У.
5. Оценить, сколько пачек чая необходимо взвесить, чтобы с вероятностью, не меньше 0,9, можно было утверждать, что погрешность средней арифметической этих измерений не превысит 0,2, если измерение характеризуется средним отклонением, равным 0,96.
6. На приборостроительном заводе для контроля емкости конденсаторов по схеме собственно-случайной бесповоротной выборки отобрано 100 конденсаторов. Результаты контроля приведены в таблице
Емкость конденсатора (пф) |
45-55 |
55-65 |
65-75 |
75-85 |
85-95 |
Итого |
Число конденсаторов |
5 |
13 |
60 |
19 |
3 |
100 |
Найти: 1) вероятность того, что средняя емкость конденсаторов на заводе отличается от средней емкости, полученной в выборке, не более чем на 0,5 пф (по абсолютной величине), если объем генеральной совокупности велик по сравнению с объемом выборки; 2) границы, в которых с вероятностью 0,9907 заключена доля конденсаторов, емкость которых не более 65 пф.
7. Используя х - критерий Пирсона, на основе выборочных данных, представленных в задаче 6, на уровне зависимости проверить гипотезу о том, что случайная величина Х - емкость конденсатора - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
8. Распределение 50 готовых изделий по их стоимости Х (тыс. руб) и стоимости сырья У (тыс. руб), из которого изготовляется это изделие, дано в таблице:
Х Y |
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
Итого |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
15 |
- |
3 |
4 |
|
|
|
7 |
25 |
2 |
4 |
3 |
|
|
|
9 |
35 |
|
|
10 |
2 |
|
|
12 |
45 |
|
|
|
3 |
5 |
|
8 |
55 |
|
|
|
6 |
4 |
1 |
11 |
65 |
|
|
|
- |
- |
1 |
1 |
Итого |
4 |
7 |
17 |
11 |
9 |
2 |
50 |
Необходимо: 1) вычислить групповые средние х и у и построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне оценить его достоверность (значимость) и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и У; в) используя соответствующее уравнение регрессии, найти среднюю стоимость изделия при стоимости сырья в 8 тыс. руб.