Вариант 14.
Группа студентов состоит из 3-х отличников, 12-ти хорошо успевающих и 5-ти занимающихся слабо. Отличники на экзамене могут получить только отличные отметки. Хорошо успевающих студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки, а слабо занимающиеся студенты -–хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Какова вероятность того, что наудачу вызванный студент получит хорошую или отличную оценку?
2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 10-ти выстрелах будет: а) 8 попаданий; б) более 2-х промахов.
3. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника: а) три партии из четырех или пять их восьми? б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти их восьми?
4. Студент может сдать экзамен на более трех раз. Составить закон распределения случайной величины Х - числа попыток сдать экзамен, если вероятность его сдачи - 0,75 и в дальнейшем возрастает на 0,1 при каждой следующей попытке. Найти дисперсию этой случайной величины.
5. Вероятность появления внутриструктурных дефектов бетонных блоков равна 0,1. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что для 1000 блоков число 940 включительно. Найти вероятность этого события с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа и объяснить различие результатов.
6. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки с целью изучения срока службы электрических лампочек при повышенном напряжении было отобрано из партии в 5000 шт 250 лампочек. Результаты исследования помещены в следующей таблице:
Срок службы, ч |
0-100 |
100-200 |
200-300 |
300-400 |
400-500 |
Итого |
Число лампочек |
21 |
77 |
93 |
43 |
16 |
250 |
Найти: 1) границы, в которых с вероятностью 0,9861 заключен средний срок службы всех лампочек; 2) каким должен быть объем выборки, чтобы те же границы гарантировать с вероятностью 0,9973; 3) вероятность того, что выборочная доля лампочек со сроком службы не менее 200 часов отличается от доли таких ламп во всей совокупности не более чем на 0,06 (по абсолютной величине).
7. Используя х - критерий Пирсона, на основе выборочных данных, представленных в задаче 6, на уровне зависимости проверить гипотезу о том, что случайная величина Х - срок службы электрической - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
8. Распределение 200 кооперативов по себестоимости продукции У (млн руб) и объему продукции Х (I) этих кооперативов представлено в следующей таблице:
Х Y |
5-9 |
9-13 |
13-17 |
17-21 |
21-25 |
Итого |
1-5 |
20 |
|
|
|
|
20 |
5-9 |
18 |
15 |
6 |
|
|
39 |
9-13 |
14 |
17 |
18 |
11 |
2 |
65 |
13-17 |
- |
12 |
18 |
17 |
4 |
51 |
17-21 |
- |
- |
8 |
9 |
8 |
25 |
Итого |
52 |
44 |
50 |
40 |
14 |
200 |
Необходимо: 1) вычислить групповые средние х и у и построить эмпирические линии регрессии; 2) полагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) вычислить коэффициент корреляции: на уровне оценить его достоверность (значимость) и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и У; в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить среднюю себестоимость продукции кооперативов с объемом продукции 7 млн руб. и сравнить ее с табличным значением.
.
Вариант 15.
1. В ходе исследований обнаружилось, что руководители существенно отличаются по своему отношению к риску. 25% указали, что они безразличны к риску, 40% проявили склонность к риску, а 35% четко сформулировали нерасположенность к риску. Выгодное рискованное предложение в первой группе принимают с вероятностью 0,5, во второй - всегда, в третьей - не принимают предложение.
Предложение было принято. Найти вероятность того, что это сделал руководитель из первой группы.
2. В среднем 70% домов микрорайона газифицированы, остальные пользуются электрическими плитами. Найти вероятность того, что среди 200 домов с электроплитами окажутся: а) 60 домов; б) от 60 до 100 домов включительно.
3. Всхожесть семян составляет 80%. Найти вероятность тог, что из 2500 посеянных семян взойдут: а) 1940 семян; б) по крайней мере 1950 семян.
4. Некоторый кандидат на выборах набрал 25% голосов. Составить закон распределения случайной величины Х - числа избирателей, отдавших свои голоса а этого кандидата среди пяти наудачу отобранных избирателей. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
5. В период весеннего половодья уровень воды в реке есть случайная величина, среднее значение которой равно 3 м. Оценить вероятность тог, что в ближайшее половодье уровень воды: а) превысит 3,2 м; б) не превысит 4 м.
6. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки из 1000 малых предприятий выбрано 200. Их распределение по прибыли за текущий квартал представлено в таблице:
Прибыль, млн. руб |
30-40 |
40-50 |
50-60 |
60-70 |
70 и более |
Итого |
Кол-во предприятий |
22 |
46 |
60 |
42 |
30 |
200 |
Найти: 1) границы, в которых в вероятностью 0,9722 заключена среднеквартальная прибыль всех предприятий; 2) вероятность того, что выборочная доля предприятий, среднеквартальная прибыль которых не более 50 млн. руб., отличается от доли таких предприятий во всей совокупности не более чем на 0,05 (по абсолютной величине).
7. Используя х - критерий Пирсона, на основе выборочных данных, представленных в задаче 6, на уровне значимости проверить о том, что случайная величина Х - квартальная прибыль - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
8. Распределение 100 предприятий по стоимости основных производственных фондов Х (млн руб) и стоимости товарной продукции, производимой на них, У (млн руб) представлено в следующей таблице:
Х Y |
5-10 |
10-15 |
15-20 |
20-25 |
25-30 |
Итого |
30-60 |
|
|
|
2 |
2 |
4 |
60-90 |
|
|
6 |
4 |
7 |
17 |
90-120 |
|
4 |
10 |
12 |
4 |
30 |
120-150 |
5 |
6 |
13 |
9 |
|
33 |
150-180 |
8 |
8 |
-- |
- |
- |
16 |
Итого |
13 |
18 |
29 |
27 |
13 |
100 |
Необходимо: 1) вычислить групповые средние х и у и построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) вычислить коэффициент корреляции: на уровне оценить его достоверность (значимость) и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и У; в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить среднюю стоимость товарной продукции на предприятиях со стоимостью основных производственных фондов в 75 млн руб. и сравнить ее с табличным значением.