Вариант 18.
1. Имеются две партии однородных изделий. Первая состоит из 60 изделий, среди которых 10 дефектных, вторая - из 40 изделий, среди которых 5 дефектных. Из первой партии берется случайным образом 25 изделий, а из второй - 15. Эти изделия смешаются и образуется новая, смешанная партия, из которой берется наугад одно изделие. найти вероятность того, что оно будет дефектным.
2. Транзисторный радиоприемник смонтирован на 9 полупроводниках, для каждого из которых вероятность брака равна 0,05. Найти вероятность того, что приемник будет неработоспособным, если он отказывает при наличии в нем не менее двух бракованных полупроводников.
3. Вероятность своевременного выполнения плана поставок равна 0,7. Найти вероятность того. что: а) своевременно выполняется план поставок не менее 5-ти предприятий из 8-ми; б) не более 2-х предприятий из 8-ми не выполнят своевременно план поставок.
4. На пути движения автомашины 4 светофора. Вероятность того, что автомашина будет задержана у очередного светофора, равна 0,3. Составить закон распределения случайной величины Х - числа светофора, пройденных автомашиной без задержки. Найти дисперсию и функцию распределения этой случайной величины.
5. В целях контроля из партии в 100 ящиков взяли по одной детали из каждого ящика и измерили их длину. Требуется оценить вероятность того, что вычисленная по данным выборки средняя длина детали отличается от средней длины детали во всей партии не более чем на 0,3 мм, если известно, что среднее квадратическое отклонение не превышает 0,8 мм.
6. Для определения среднего процента редких элементов в рудном месторождении по схеме бесповоротного отбора было взят 300 проб (объем генеральной совокупности велик по сравнению с выборочной совокупностью), результаты исследования которых приведены в таблице:
Содержание редких элементов в породе, % |
0,4-0,7 |
0,7-1,0 |
1,0-1,3 |
1,3-1,6 |
1,6-1,9 |
Итого |
Кол-во проб |
55 |
105 |
70 |
42 |
28 |
300 |
Найти: 1) вероятность того, что среднее содержание редких элементов в месторождении отличается от среднего содержания в выборке не более чем на 0,05% (по абсолютной величине); 2) границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключена доля проб на всем месторождении, если процентное содержание редких элементов в каждой пробе заключено в пределах от 1,3 до 1,9%. Каким должен быть объем выборки, чтобы те же границы для указанной доли гарантировать с вероятностью 0,9980?
7. Используя х - критерий Пирсона, на основе выборочных данных, представленных в задаче 6, на уровне зависимости проверить гипотезу о том, что случайная величина Х - процентное содержание редких элементов в пробе на всем месторождении - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
8. Результаты испытаний на крепость 100 волокон хлопка У(г) в зависимости от номера Х (номер обратно пропорционален толщине волокна) даны в таблице:
Х Y |
3,5 |
4,0 |
4,5 |
5,0 |
5,5 |
6,0 |
Итого |
4300 |
|
|
|
1 |
4 |
3 |
8 |
4500 |
|
|
|
8 |
10 |
2 |
20 |
4700 |
|
2 |
19 |
20 |
1 |
|
42 |
4900 |
2 |
10 |
12 |
|
|
|
24 |
5100 |
2 |
- |
4 |
|
|
|
6 |
Итого |
4 |
12 |
35 |
29 |
15 |
5 |
100 |
Необходимо: 1) вычислить групповые средние х и у и построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне оценить его достоверность (значимость) и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и У; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю крепость волокон хлопка с номером 5000.