Глава 6. Стереографические проекции кристаллов

6.1 Принципы стереографического проектирования

В кристаллографии элементы симметрии кристаллов изображаются на гномостереографических проекциях. На этих же проекциях схематически изображают грани, ребра и даже вершины кристалла. Такие проекции аналогичны чертежам строительных объектов. При помощи их решается ряд кристаллографических задач, в частности, вывод возможной единичной грани или определение двухгранных углов.

Принцип стереографического проектирования следующий.

Из центра кристалла О произвольным радиусом описываем сферу проекции вокруг этого кристалла (рис.6.1). Разрезают сферу по экватору плоскостью Q, которая называется плоскостью проекции и образует при пересечении со сферой круг проекции, NS-ось проекции, S-южная точка зрения.

Рисунок 6.1 – Принцип стереографического проектирования

Чтобы спроектировать любое направление ОА на круг проекции, его продолжают до пересечения со сферой, а затем точку пересечения А мысленно соединяют с южной точки зрения S и наблюдают за тем, где луч зрения AS пересек круг проекции. Точка пересечения а и является проекцией направления ОА.

6.2 Проектирование элементов симметрии кристаллов

Оси симметрии в зависимости от их расположения к кругу проекций могут пересекать его в трех вариантах:

Если ось симметрии перпендикулярна кругу проекций и совпадает с осью проекций, то она проектируется в виде точки в середине круга;
Если ось симметрии параллельна кругу проекций, то она проектируется в виде двух точек по концам диаметра круга;
Если ось симметрии располагается под углом α=45о к кругу проекций, то она проектируется в виде точки в середине радиуса круга.

Плоскости симметрии, при их продолжении, пересекают сферу проекций в виде дуг, а при соединении каждой точки дуги с южной точкой зрения на круге проекций возможны следующие варианты проецирования:

Если плоскость симметрии перпендикулярна кругу проекций, то она отмечается на круге проекций в виде линии, совпадающей с диаметром круга;
Если плоскость симметрии параллельна плоскости проекций, то она отмечается на круге в виде линии, совпадающей с окружностью;
Если плоскость симметрии находится под наклоном к плоскости проекций, то она отмечается на круге в виде дуги, опирающейся на концы диаметра круга.

Таблица 6.1 – Условные обозначения элементов симметрии кристалла

Элементы симметрии	Расположение в кругу проекций
	Перпендикулярное	Параллельное	Наклонное
1. Оси симметрии	проектируются в виде точки в центре круга	проецируются в виде двух точек по концам диаметра круга	проецируются в виде точки лежащей на середине радиуса круга
L2
L3
L4			-
		-	-
L6		-	-
		-	-
2.Плоскости симметрии	проектируется в виде линии, совпадающей с диаметром круга	проектируется в виде линии, совпадающей с окружностью	проектируется в виде дуги, опирающейся на концы диаметра круга
3. Центр симметрии

Примеры выполнения проекций многогранников показаны на рис. 6.2.

а) б)

Рисунок 6.2 - Стереографические проекции многогранников: а) гексагональная пирамида; б) куб

Вопросы и задачи к разделу КРИСТАЛЛОГРАФИЯ

1. Один из двугранных углов у минерала кальцита (СаСО_з) равен 101º55', а у селитры (NаNO₂₎ аналогичный угол составляет 102º 41' 55''. Как установить хим. состав минералов по внешним признакам? Как называется такой анализ и на каком законе он основан?

2. Перечисленные ниже вещества разделите на аморфные и кристаллические и объясните различия между ними: алмаз, янтарь, поваренная соль, пластмасса, стекло, сахар, графит.

3. Вы ударили геологическим молоточком по бесцветному прозрачному образцу каменной соли и по образцу стекла. Какой формы осколки образуются и почему?

4. Иглой специального прибора склерометра под определенной постоянной нагрузкой на кристалле и стекле примерно одинаковой твердости прочерчены царапины по разным направлениям. Сможете ли Вы различить эти вещества по характеру отметин?

5. Проверьте по формуле Эйлера взаимосвязь между элементами ограничения октаэдра, тетраэдра, гексагональной дипирамиды.

6. По каким признакам можно определить порядок оси симметрии? Сформулируйте основной закон симметрии.

7. Сформулируйте и объясните закон Гаюи.

8. По каким признакам классы симметрии объединяются в сингонии и категории? Что такое класс симметрии, сингония и категория, их количество?

9. Чему равен угол поворота оси, перпендикулярной двум пересекающимся осям симметрии второго порядка. Докажите для случая тетрагональной призмы.

10. Укажите единичные направления в многогранниках: тригональная призма, куб, ромбическая дипирамида, гексагональная пирамида.

11. Какими бывают инверсионные оси симметрии?

12. Распределите классы симметрии по сингониям и категориям: 4L₃3L₂6P, 3L₂3PC, L₄4P, L₆, L₃3L₂, L₂.

13.Проверьте по формуле Ейлера взаимосвязь между элементами ограничения дитригональной дипирамиды, ромбоэдра, октаедра.

14. По каким признакам классы симметрии объединяются в сингонии и категории?

15. Опеределите сингонию и установите кристалл с формулой L₆6L₂7PC.

16. Определите плоскости симметрии на фигурах

17. Кристаллографическая формула куба. Изобразите на рисунке его элементы симметрии.

18. Определите наличие центра симметрии на фигурах

19. Распределите классы симметрии по сингониям и категориям: L₆6L₂, L₂, L₄, C, L₃3L₂3PC, 3L₄ 4L₃6L₂, L₂P. Дайте объяснение.

20. Отразите фигуру через геометрический центр (С). Что такое сложная (инверсионная) ось симметрии?

21. Если имеется ось L_n и через нее проходит плоскость симметрии, то … Продолжите формулировку теоремы взаимодействия, Приведите примеры.

22. Что представляет собой линия пересечения двух плоскостей симметрии. Докажите для случая тригональной призмы.

23. Что общего и чем отличаются между собой тетраэдры низшей, средней и высшей категории. Каким сингониям они отвечают?

24. Перечислите и зарисуйте характерные поперечные сечения сингоний средней категории.

25. Сравните формулы L2PC, L4PC, L6PC. Определите взаимодействующие элементы симметрии. Сформулируйте теорему.

26. Кристаллографические системы координат, принятые в каждой сингонии.

27. Что общего и чем отличаются между собой тетраэдры низшей, средней и высшей категории? Каким сингониям они отвечают?

28. Индекс грани кубической сингонии 231. Где она расположена в системе координат и какие отрезки отсекает?

29. Расшифруйте названия простых форм и опишите их: октаэдр, пентагонтритетраэдр, гексаоктаэдр, дитригональная дипирамида.

30. Тригональная призма, тетрагональная пирамида, куб, ромбическая дипирамида. Укажите единичные направления в многогранниках.

31. Что такое установка кристаллов? Кристаллографическая система координат.

32. Индекс грани кубической сингонии (132). Где она расположена в системе координат, и какие отрезки отсекает?

33. Индекс грани (131). Где она расположена в системе координат, и какие отрезки отсекает?

34. В кубической сингонии индексы некоторых граней (100), (111). Каким простым формам могут принадлежать эти грани?

35. Какие простые формы кубической сингонии можно определять по числу граней, относящихся к одному сорту?

36. Все ли верно в описании внешней формы кристаллического мнгогранника?

1). Кристаллографическая формула 4L₃3L₂3PC.

2). Сингония – кубическая.

3). Число сортов граней -2

4). Простые формы: 1). пентагондодекаэдр

2). пинаконд

3). пинаконд

4). пинаконд

37. Расшифруйте название: пентангонтритетраэдр, гексаэдр, гексаоктаэдр, тетрагонтриоктаэдр. Опишите их.

38. Индекс грани (2110). Где она расположена в системе координат, какие отрезки отсекает. Можно ли принять ее за единичную?

39. Отрезки, отсекаемые единичной гранью на осях равны, см: а – 3, в – 4, с – 5.Угол между координатными осями 90º. Определите сингонию кристалла.

40. Что такое индексы Миллера?

41. Трапецоэдры и дипирамиды. Что между ними общего и в чем различие? Какие они бывают?

42. Отрезки, отсекаемые единичной гранью на координатных осях равны, см: а – 3, в-3, с-6. Угол между координатными осями - 90º. Определите сингонию.

43. Какие бывают инверсионные оси симметрии?

44. Что такое установка кристаллов? Формула L₂2P. Определите сингонию и установите кристалл.

45. Что такое сложная (инверсионная) ось симметрии?

ОСНОВЫ КРИСТАЛЛОХИМИИ