5.3 Закон Гаюи

Открыл этот закон в 1784 году Жан Огюст Гаюи. Это учение о символах основывается на одном из важнейших законов кристаллографии – законе рациональности отношений параметров (закон Гаюи).

Предположим, что тщательно изучив наши рекомендации по установке кристаллов, вы правильно расположили модель кристалла в координатной системе, приняв за координатные оси три непараллельных ребра. А теперь пронаблюдайте, где пересекают координатные оси две грани Вашего кристалла при их мысленном продолжении (рис. 5.3). Одна – единичная, А₁,В₁,С₁, выбранная в соответствии с сингонией по правилам табл. 5.1, отсекает отрезки ОА₁, ОВ₁, ОС₁, называемые единичными параметрами. Другая непараллельная грань (A_x, B_x, C_x) характеризуется параметрами ОA_x, ОB_x, ОC_x.

Рисунок 5.3 - Параметры и кристаллографические оси

Закон Гаюи гласит: двойные отношения параметров, отсекаемые двумя любыми гранями кристалла на трех пересекающихся ребрах его, равны отношениям целых и сравнительно малых чисел

(параметры Вейса)

Наличие целых чисел объясняется решетчатым строением кристаллов. Ребра кристалла соответствуют рядам решетки, грани – плоским сеткам. Плоские сетки - (грани), пересекая три ряда решетки (ребра), образуют на них отрезки (параметры), содержащие целые числа промежутков между узлами решетки (элементарными частицами) (рис. 5.3).

Наличие малых чисел связано с тем, что реальные грани кристаллов построены не любыми плоскими сетками, а только теми, которые обладают наибольшей плотностью расположения в них элементарных частиц.

Закон Гаюи связывает внешнюю форму кристаллов с их внутренним решетчатым строением.

При практическом применении закона Гаюи для определения индексов граней пользуются обратными отношениями параметров, получивших название индексов Миллера:

Индексы Миллера – это величины, обратные параметрам Вейса, приведенные к целым числам. Для получения индексов Миллера в виде трех взаимно простых чисел проводят следующие математические преобразования:

- приводят дроби к общему знаменателю,

- находят дополнительный множитель,

- отбрасывают общий знаменатель,

- сокращают полученное соотношение на общий множитель.

Для примера определим индексы Миллера грани А_xВ_xС_x (рис. 5.3), параметры выразим числом промежутков между элементарными частицами (или в мм, см):

Индекс грани А_xВ_xС_x - (2 3 3).

Таким образом, любую грань (А_xВ_xС_x), а точнее - ее наклон к кристаллографическим осям, можно охарактеризовать тремя целыми и взаимно простыми числами – индексами ( ), представляющими отношения трех дробей, числители которых являются параметрами единичной грани (ОА₁,ОВ₁, ОС₁), а знаменатели соответствуют параметрам искомой грани (А_x, В_x, С_x). После математических преобразований индексы имеют вид небольших целых чисел. Чем больше параметр грани, то есть, чем больший отрезок отсекает грань на координатной оси, тем меньший индекс она имеет по данной оси.

Условное обозначение символов:

Грань – ( ) или ( ) – для кристаллов тригональной и гексагональной сингоний, h – индекс по оси X, k – индекс по оси Y, і – индекс по оси U , l – индекс по оси Z; простая форма – { }; ребро – [ ] (ряд кристаллической решетки) ; вершина – [[ ]] (узел кристаллической решетки).

Если грань пересекает какую-то ось с отрицательной стороны, то над индексом по этой оси ставят знак минус ( ).

В качестве символа простой формы выбирается грань, обладающая максимальным количеством положительных индексов.

На практических занятиях по кристаллографии отрезки, отсекаемые гранями на координатных осях определяем приблизительно при помощи линейки и карандаша. Более точные вычисления производятся на основании специальных формул с применением гониометрических измерений.