24. Замечательные пределы

n^o1. Первый замечательный предел и его следствия.

Покажем, что (1)(первый замечательный предел), т.е., что ~ ( ).

Так как функция – четная, то достаточно найти правосторонний ее предел в точке . Пусть . Тогда как видно из следующего рисунка

, , , при этом ясно, что . Поэтому (2) и, следовательно, Таким образом, если будет доказано, что (3), то будет доказано и (1).

Используя левое из неравенств (2) получим (4), а так как , то из этих неравенств в силу принципа двух милиционеров получим (3). а следовательно и (1).

Как следствие (1) и (3) имеем (5). В свою очередь из (1) и (4) следует что (6) Таким образом, ~ , а ~ при .

n^o2. Второй замечательный предел

Имеет место равенство (7). Покажем сначала, что (8)

Действительно, так как , то для любой последовательности натуральных чисел такой, что имеем (9)

Но для любой последовательности вещественных чисел , где , и, следовательно, .

Поэтому, если , то и в силу (9) и принципа двух милиционеров, для любой последовательности вещественных чисел , такой, что имеем также .

По определению предела в смысле Гейне это и означает, что справедливо равенство (8). Используя его и теорему о пределе суперпозиции легко убедиться также и в том, что (10). Наконец (7) следует из (8) и (10).

25. Асимптоты графика функции

Определение1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов или равен или .

Определение 2. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при ( ), если ( ). (1)

Теорема. Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой графика функции при ( ), необходимо и достаточно, чтобы ( ). (2)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть, например, - наклонная асимптота графика функции при . Тогда из равенств в силу (1) следует (2). Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Действительно, если имеют равенства (2), то из второго из них следует (1), т.е. - наклонная асимптота графика функции при □

26. Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела.

Определение 1. Функция , , называется непрерывной в точке , если для любого существует такое , что для любого , удовлетворяющего неравенству (1), справедливо также и неравенство (2).

Замечание 1. Данное определение иногда называется определением непрерывности функции на языке . По форме оно явно напоминает определение предела функции в форме Коши, при этом в отличие от него здесь требуется, чтобы точка принадлежала множеству , но не требуется, чтобы она была точкой сгущения этого множества.

В связи с последним замечанием отметим, что если точка не является точкой сгущения множества , то она называется изолированной точкой этого множества. Иными словами точка называется изолированной точкой множества , если существует такая ее окрестность , что Æ или, что тоже самое, .

Замечание 2. Согласно определению 1 в любой изолированной точке своей области определения всякая функция является непрерывной. Действительно, каково бы ни было по определению изолированной точки можно выбрать столь малое , что и, следовательно, при этом среди точек множества неравенству (1) будет удовлетворять только точка , но при неравенство (2), очевидно, выполняется для любой функции .

Замечание 3. В силу того, что для неравенство (2) выполняется очевидным образом, можно заключить, что в том случае, когда точка является точкой сгущения множества , неравенство (1) можно заменить неравенствами: (т.е. точку можно исключить из рассмотрения), при этом определение 1 превратится в определение предела при .

Таким образом, можно сказать, что если точка является точкой сгущения множества , то функция непрерывна в этой точке в том и только том случае, когда .

Замечание 4. На языке окрестностей определение 1 можно переформулировать следующим образом:

Определение 1’. Функция , , называется непрерывной в точке , если для любого существует такое , что (т.е. ).

Это определение, а значит и определение 1, очевидно равносильно следующему определению:

Определение 1”. Функция , , называется непрерывной в точке , если для любой окрестности точки существует такая окрестность точки , что .

С учетом замечаний 2 и 3, теоремы о равносильности определений предела по Коши и по Гейне, а также с учетом того, что всякую точку можно представить в виде , заключаем, что определения 1, 1’и 1" равносильны следующему определению на языке последовательностей:

Определение 2. Функция , , называется непрерывной в точке , если для любой последовательности точек , , последовательность сходится и ее предел равен значению функции в точке : .

Упражнение 1. Докажите формально равносильность определений 1 и 2.

Как будет показано каждая элементарная функция является непрерывной в своей области определения, т.е. непрерывной в любой точке своей области определения. В связи с этим напомним, что к числу, так называемых, основных элементарных функций относятся:

– постоянная функция:

– степенная функция: ;

– показательная функция: ;

– логарифмическая функция: ;

– тригонометрические функции: ;

– обратные тригонометрические функции: .

В свою очередь, элементарной называется всякая функция, которая может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и образования суперпозиций.

Теорема 1 (О непрерывности сужения). Пусть функция непрерывна в точке и причем . Тогда функция также непрерывна в точке .

Д о к а з а т е л ь с т в о непосредственно вытекает из определения сужения и определения непрерывности.

Отметим еще ряд теорем, которые с учетом замечаний 2 и 3 вытекают из аналогичных теорем о пределе функции.

Теорема 2 (Арифметические свойства непрерывных функций). Пусть функции и определены на множестве и непрерывны в точке . Тогда и функции: , , , (при на ) непрерывны в точке .

Теорема 3 (О локальной ограниченности). Пусть функция определена на множестве и непрерывна в точке . Тогда если – точка сгущения множества , то существует такая окрестность точки , что функция ограничена на множестве .

Теорема 4 (О стабилизации знака). Пусть функция определена на множестве и непрерывна в точке . Тогда если и – точка сгущения множества , то существует такая окрестность точки , что .

Наконец отметим еще две простые теоремы

Теорема 5. Пусть функция определена на множестве и непрерывна в точке , а функция определена на множестве и непрерывна в точке , причем и . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем произвольную последовательность , . Так как - непрерывна в точке , то , а так как , то . Поэтому, в силу непрерывности функции в точке , имеем , то есть , что и означает, что функция - непрерывна в точке 

Пусть функция определена на множестве и . Рассмотрим множества: , .

Определение 1. Функция называется непрерывной слева (непрерывной справа) в точке , если в ней непрерывна функция (соответственно, ) .

Замечание. На языке , например, определение непрерывности слева, формулируется следующим образом: функция называется непрерывной слева в точке , если такое, что удовлетворяющего неравенствам справедливо неравенство .

Теорема 6. Функция непрерывна в точке она непрерывна в ней слева и справа одновременно.

Если - изолированная точка множества , то утверждение очевидно. Если же - точка сгущения множества , то оно вытекает из аналогичной теоремы об односторонних пределах.