Перечень вопросов для Государственного экзамена магистратуры «Сложные системы в природе и обществе»

2014 г.

1. В терминах принципа причинности дайте определение детерминированных и случайных динамических систем.

2. Что такое степени свободы динамической системы и как определяется фазовое пространство динамической системы? Приведите примеры.

3. Сформулируйте основные парадигмы сложных систем. Приведите примеры сложных и простых систем.

Основная задача теории сложных систем – построение новой научной картины мира или выработка «нового диалога человека с Природой» (И. Пригожин). В чем же состоит новизна диалога, и почему он с необходимостью должен носить междисциплинарный характер? Тому есть несколько причин, и главная из них состоит в том, что многие современные фундаментальные научные проблемы и высокие технологии связаны с явлениями, лежащими на границах разных уровней организации. Иными словами, большинство естественных наук (физика в первую очередь) и некоторые из гуманитарных (экономика, социология, психология) разработали концепции и методы для каждого из иерархических уровней, но не обладают универсальными подходами для описания происходящего между этими уровнями иерархии. Нестыковка иерархических уровней различных наук – одно из главных препятствий для развития истинной междисциплинарности (синтеза различных наук) и достижения цели построения целостной картины мира. Переброска мостов между иерархическими уровнями требует, очевидно, нового мировоззрения и нового языка. Теория сложных систем – это одна из удачных попыток построения такого синтеза на основе универсальных подходов и новой методологии. Следует здесь же отметить, что по меткому выражению П. Бака «теория сложности не может объяснить все обо всем, но что-то обо всем может».

Теория сложности, не имеющая до сих пор четкого математического определения1 может быть охарактеризована характерными чертами2 тех систем и типов динамики, которые являются предметом ее изучения. Эти черты (повторяющиеся у различных авторов в различных сочетаниях) таковы:

Нестабильность: сложные системы стремятся иметь много возможных мод поведения, между которыми они блуждают в результате малых изменений параметров, управляющих динамикой.

Неприводимость: сложные системы выступают как целое и не могут быть изучены разбиением их на части, которые рассматриваются изолированно. То есть поведение системы определяется взаимодействием частей, но редукция системы к ее частям разрушает большинство аспектов, привносящих в систему индивидуальность.

Адаптивность: Сложные системы часто состоят из множества агентов, которые принимают решения и действуют исходя из частичной информации о системе в целом и ее окружении. Более того, эти агенты в состоянии изменять правила своего поведения на основе такой частичной информации. Если коротко, то сложные системы обладают способностью извлекать скрытые закономерности из неполной информации, обучаться на этих закономерностях и изменять свое поведение на основе новой поступающей информации.

Эмерджентность (от существующего к возникающему у И. Пригожина): сложные системы продуцируют неожиданное поведение; фактически они продуцируют паттерны и свойства, которые невозможно предсказать на основе знания свойств их частей, рассматриваемых изолированно.

Эти характерные черты позволяют отделить простое от сложного, присущего наиболее фундаментальным процессам, происходящим как в естественных, так и в гуманитарных [6, 8, 9, 12, 13, 15, 40] науках, составляя тем самым истинный базис междисциплинарности. Что еще более существенно, это то, что за последние 30 – 40 лет в теории сложности были разработаны новые научные (то есть контролируемые и воспроизводимые) методы, позволяющие универсально описывать сложную динамику, будь то в явлениях турбулентности, или в поведении электората накануне выборов.

Поскольку многие сложные явления и процессы в таких областях как экология, социология, экономика, политология и др. не воспроизводимы в реальном мире, то лишь появление мощных вычислительных средств и создание компьютерных (виртуальных) моделей этих явлений позволило впервые в истории науки производить эксперименты в этих областях так же, как это всегда делалось в естественных науках. Однако компьютерное моделирование потребовало развитие и новых теоретических подходов: фрактальной геометрии [10, 11, 12, 34, 35], теории хаоса [1, 5, 18, 19, 20, 28, 39], самоорганизованной критичности [14, 30], нейроинформатики [21, 22, 23, 24, 25, 26, 27] и квантовых алгоритмов [16, 17]. Все вместе, и компьютерное моделирование, и новые теоретические подходы, позволяют говорить о рождении новой междисциплинарной науки – теории сложных систем.

Уместно также отметить, что даже при очень скептическом отношении к теории сложности невозможно отрицать тот факт, что правительства разных стран тратят значительные средства на поддержку и развитие этого направления исследований. Это можно объяснять различными причинами («ерунда, за которую платят деньги, уже не ерунда»), но коль скоро эта тенденция существует и набирает силу, то национальным высшим школам, и российской в том числе, следует, по-видимому, активно приступать к решению проблемы подготовки специалистов в этой области.

Обязательная литература:

- Г. Николис, И. Пригожин, «Познание сложного», – М.: Едиториал УРСС, 2003, Стр. 10-53.

- Г.Г.Малинецкий, А.В.Потапов, Нелинейная динамка и хаос,. Основные понятия. М.: КомКнига, 2006. -240 с., Стр. 9-43.

Дополнительная литература:

- Г. Хакен, «Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам», - М.: КомКнига, 2005, Стр. 18-57.

- Г.Г.Малинецкий, Математические основы синергетики: Хаос, структуры, вычислительный эксперимент, М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.-312 с., стр. 13-24.

4. Что такое фазовый поток? Что такое каскад или отображение? Что такое клеточный автомат? Приведите примеры.

Информация и энтропия:

5. Как определяется информация по Шеннону и информационная энтропия? Каков их смысл? Приведите пример системы с максимальной и минимальной информационной энтропией.

6. Опишите, как определяется горизонт предсказуемости динамики системы и каковы причины его возникновения. Как связан горизонт предсказуемости с динамикой информацией по Шеннону?

Динамические системы, Ляпунов и пр.:

7. Дайте определение аттрактора динамической системы и его бассейна. Опишите классификацию аттракторов динамической системы в 3-х мерном фазовом пространстве.

8. Дайте общее описание динамической системы с дискретным временем и сформулируйте определение показателя Ляпунова для одномерной дискретной динамической системы.

9. Опишите связь показателя Ляпунова и горизонта предсказания на примере хаотического отображения и вычислите показатель Ляпунова для нелинейной динамики, задаваемой рекуррентным соотношением «Сдвиг Бернулли»

10. Каково определение спектра показателей Ляпунова для многомерных потоков? Приведите пример вычисления старшего показателя Ляпунова для системы Лоренца.

11. В терминах устойчивых и неустойчивых точек отображений дайте определение явлению бифуркации для хаотических отображений. Опишите картину последовательности бифуркаций удвоения периода и механизм перехода от регулярного к хаотическому движению.

12. Дайте общее определение динамических систем в терминах групп и полугрупп.

13. Дайте определение дивергенции динамической системы, заданной системой обыкновенных дифференциальных уравнений и сформулируйте свойство консервативности и диссипативности динамической системы.

Нейронные сети:

14. Что такое искусственная нейронная сеть и какую роль в ее динамике играют функция активации нейронов и их синаптические веса?

15. Каковы парадигмы искусственных нейронных сетей?

16. Что понимается под обучением нейронных сетей и каковы базовые алгоритмы обучения искусственных нейронных сетей?

17. Что такое отрицательные и положительные обратные связи в сложных системах? Приведите примеры.

18. Опишите общий механизм явлений самоорганизации в открытых системах.

Фракталы и размерности:

19. Что такое фрактальное множество и каковы его свойства?

20. Что такое фрактальная размерность и каковы способы ее вычисления? Приведите примеры построения фрактальных множеств и вычисления их фрактальных размерностей.

21. Приведите примеры применения фрактальных множеств в природе и обществе.

22. Что такое мультифракталы и обобщенные размерности Реньи?

23. Где и для чего применяются мультифракталы и отвечающие им размерности Реньи?

Погружение в лаговое пространство:

24. Опишите погружение временного ряда в лаговое пространство. Что такое параметры реконструкции, что такое реконструированный аттрактор и каковы его свойства?

25. Опишите способы вычисления параметров реконструкции: взаимна информация, автокорреляционная функция, метод ложных соседей.

26. .Сформулируйте Теорему Такенса и следствия из нее.

27. Опишите метод Грассбергера-Прокаччи оценки фрактальной размерности реконструированного аттрактора.

Броуновское движение:

28. Дайте определение общего случайного процесса и его частного случая – Броуновского движения.

29. Дайте определение белого шума и опишите свойства его автокорреляционной функции.

30. Что такое фрактальное броуновское движение (ФБД) и каковы его основные свойства?

Cтепенные законы:

31. Опишите причины возникновения степенных законов в спектрах мощности цветных шумов?

32. Почему важны степенные законы и каково их практическое применение?

Степенные законы

Золотое сечение. Самоподобие последовательности Фибоначчи. Последовательности Битти. Модели квазикристаллов. Законы Парето и Ципфа. Степенные законы при описании бедствий и катастроф. Степенные законы в музыке: Бах. Скейлинговые показатели поперечных сечений: деревья, реки, артерии и легкие.

Обязательная литература:

-Шредер М., Фракталы, хаос, степенные законы. - , 2001 . - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 528 с., С. 151-166, С. 172-219.

Потоки. Фазовое пространство и фазовый объем. Векторные поля. Градиент и дивергенция векторных полей. Открытые и замкнутые динамические системы Консервативные и диссипативные динамические системы. Определение аттрактора. Понятие хаоса для потоков. Вычисление ляпуновских показателей. Классификация аттракторов для потоков в размерности d=3. Примеры вычислений в среде Architect.

- Ю.А. Данилов, Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение: Учебное пособие/ Изд. 2-е, испр. – М.: КомКнига, 2006. 208 с., стр.50-82.

Дополнительная литература:

Г.Г.Малинецкий, А.Б.Потапов, А.В.Подлазов, Нелинейная динамика: Подходы, результаты, надежды. – М.: КомКнига, 2006. – 280 с., 112-126.

Неподвижные точки отображений. Устойчивые и неустойчивые точки отображений. Аттракторы и репеллеры. Паутинные диаграммы. Бифуркации, как один из сценариев перехода к хаосу. Бифуркационные диаграммы. Перемежаемость. Фрактальность. Показатели Ляпунова для отображений. Связь ляпуновских показателей с горизонтом прогноза динамики. Примеры вычислений в среде Architect.

Обязательная литература:

- Ю.А. Данилов, Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение: Учебное пособие/ Изд. 2-е, испр. – М.: КомКнига, 2006. 208 с., стр. 28-48.

- Г.Г.Малинецкий, А.В.Потапов, Нелинейная динамка и хаос,. Основные понятия. М.: КомКнига, 2006. -240 с., Стр.81-132.

Дополнительная литература:

- Г.Г.Малинецкий, Математические основы синергетики: Хаос, структуры, вычислительный эксперимент, М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.-312 с., стр. 105-127.

Дискретные по времени динамические системы – отображения. Итерации и их свойства. Понятие хаоса для отображений. Треугольное отображение, сдвиг Бернулли, Логистическое отображение. Энтропия и информация. Бифуркации. Параметры порядка. О необходимости бесконечно точного описания системы с неустойчивым поведением для предсказания ее поведения.

Обязательная литература:

-. Ю.А. Данилов, Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение: Учебное пособие/ Изд. 2-е, испр. – М.: КомКнига, 2006. 208 с., стр. 28-48.

- Г.Г.Малинецкий, Математические основы синергетики: Хаос, структуры, вычислительный эксперимент, М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.-312 с., стр. 175-200.

Дополнительная литература:

- Г. Шустер, «Детерминированный хаос: Введение», – М.: Мир, 1988, Стр. 45-60.

- P. Кроновер. «Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории», – Москва: Постмаркет, 2000, Стр. 147-170.

Группы и полугруппы. Математическое определение динамической системы. Обратимые и необратимые во времени динамические системы. Частные случаи динамических систем: потоки, отображения, клеточные автоматы. Примеры динамических систем: десятичное отображение, одномерный клеточный автомат, игра Жизнь, система Лоренца.

Обязательная литература:

- М.Шредер, Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 528 с., стр. 23-96.

. - А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, М.: «Наука», 1981,

Стр. 48-83, Стр. 143-167, Стр. 218-237

П.А.Головинский, Математические модели: Теоретическая физика и анализ сложных систем. М.: Книжный дом «Либроком», 2012.- 232 с., стр. 184-188.

Дополнительная литература:

. С.П. Кузнецов, Динамический хаос (курс лекций), лекция 2, лекция 4.

Мультифракталы и размерности Реньи. Локальные гельдеровские показатели и функция мультифрактального спектра. Преобразование Лежандра. Корреляционная и информационная размерности. Примеры мультифракталов из реального мира. Практическое применение локальных гельдеровских показателей: классификация ЭЭГ в норме и патологии, прогнозы кризисов на финансовых рынках.

Обязательная литература:

С.В. Божокин, Д.А.Паршин, Фракталы и Мультифракталы. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 128 с., стр. 83-114.

Дополнительная литература:

- М. Шредер, «Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая», – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, Стр. 453-459.

Р.М.Кроновер, Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000.с.

Е. Федер, Фракталы. М.:Мир, 1991.

Фракталы. Самоподобные геометрические фракталы: размерность подобия. Способы построения: кривая Коха, пыль Кантора, треугольник Серпинского. Фрактальная функция Вейерштрасса. Самоаффинные фракталы. Вычисление фрактальной размерности произвольного множества. Системы интерированных функций (СИФ) для построения фракталов. Решение обратной задачи для СИФ. Примеры фрактальных изображений на основе СИФ.

Обязательная литература:

С.В. Божокин, Д.А.Паршин, Фракталы и Мультифракталы. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 128 с., стр. 12-54

-Дополнительная литература:

- Р.М.Кроновер, Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000.с.

Е. Федер, Фракталы. М.:Мир, 1991.

Корреляционная размерность и способ ее вычисления. Зависимость корреляционной размерности от размерности вложения. Вычисление ляпуновских показателей по временному ряду. Метод Вольфа, метод Кантца. Вычисление локальных показателей разбегания (ЛПР) и классификация временных рядов. Примеры обработки временных рядов: ЭЭГ, ценовые временные ряды.

Обязательная литература:

Г.Г.Малинецкий, А.Б.Потапов, А.В.Подлазов, Нелинейная динамика: Подходы, результаты, надежды. – М.: КомКнига, 2006. – 280 с., 156-179.

Дополнительная литература:

- Г. Шустер, «Детерминированный хаос: Введение», – М.: Мир, 1988, Стр. 19-27, 137-152.

Реконструкция характеристик динамической системы по ее реализации. Погружение временного ряда в лаговое пространство. Параметры реконструкции. Способы вычисления параметров реконструкции: взаимна информация, автокорреляционная функция, метод ложных соседей. Реконструированный аттрактор. Теорема Такенса и ее следствия. Метод Грассбергера-Прокаччи оценки фрактальной размерности реконструированного аттрактора.

Обязательная литература:

Г.Г.Малинецкий, А.Б.Потапов, А.В.Подлазов, Нелинейная динамика: Подходы, результаты, надежды. – М.: КомКнига, 2006. – 280 с., 133-151.

Дополнительная литература:

- Г. Шустер, «Детерминированный хаос: Введение», – М.: Мир, 1988, Стр. 19-27, 137-152.

Понятия сложной системы. Структура науки о сложности: предмет, методология, теория. Основные парадигмы сложности: нестабильность, неприводимость, адаптивность, эмерджентность Краткая ретроспектива: ключевые достижения и персоналии. Эволюция теории сложности: почему сложные системы могут вести себя просто, а простые системы – сложно. Перспективы развития: управление рисками, нейроисследования, управление хаосом, квантовые вычисления.

Обязательная литература:

- Г. Николис, И. Пригожин, «Познание сложного», – М.: Едиториал УРСС, 2003, Стр. 10-53.

- Г.Г.Малинецкий, А.В.Потапов, Нелинейная динамка и хаос,. Основные понятия. М.: КомКнига, 2006. -240 с., Стр. 9-43.

Дополнительная литература:

- Г. Хакен, «Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам», - М.: КомКнига, 2005, Стр. 18-57.

- Г.Г.Малинецкий, Математические основы синергетики: Хаос, структуры, вычислительный эксперимент, М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.-312 с., стр. 13-24.

http://spkurdyumov.narod.ru