1. Множества и действия над ними.

Ту или иную совокупность (класс, семейство) рассматриваемых объектов называют множеством, а соответствующие объекты – элементами или точками этого множества.

Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае оно называется бесконечным.

К числу множеств удобно отнести и, так называемое, пустое множество, которое по определению не содержит ни одного элемента.

Если каждый элемент множества является также и элементом множества , то множество называется подмножеством множества , ( ).

Множества и называют равными друг другу ( ) , если они состоят из одних и тех же элементов или, иначе, если и .

Объединением множеств и называется множество .

Пересечением множеств и называется множество .

Очевидно, имеют место следующие свойства операций ∪ и ∩:

а) (коммутативность операции ∪);

б) (коммутативность операции ∩);

в) (ассоциативность операции ∪);

г) (ассоциативность операции ∩);

д) и

(дистрибутивные свойства операций ∪ и ∩);

Разностью между множеством и множеством называется множество .

Прямым (или декартовым) произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар таких, что .

Прямое произведение множеств и обозначается . Отметим, что вообще говоря, .

2. Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.

Пусть и – произвольные множества. Правило , по которому каждому элементу ставится в соответствие определенный, и при том единственный, элемент называется отображением множества во множество , при этом множество называется областью определения отображения , а множество - областью значений этого отображения.

Если элемент отображением сопоставляется элементу , то элемент называют образом элемента при отображении или значением отображения в точке и обозначают , при этом пишут , а сам элемент , который отображением сопоставляется элементу, называют прообразом элемента y при отображении .

(Подчеркнем, что образ элемента при отображении (по определению отображения) определяется однозначно, а прообразов элемента при том же отображении может быть несколько. Множество всех прообразов элемента при отображении обозначается ).

Множество называется графиком отображения .

Пусть задано отображение и множество . Определим новое отображение , полагая, что . Так определенное отображение называется сужением отображения на множество (обозначается ).

Образом множества при отображении называют множество .

Отображения и называют равными друг другу и пишут , если и .

Отображение будем называть

а) функцией, если (в частности, отображение , где – произвольное, необязательно числовое множество, является функцией)

б) числовой функцией или функцией одной переменной, если и .

Пусть даны отображения и . Новое отображение , определенное по следующему правилу: называют суперпозицией отображений и .

Суперпозицию отображений и обычно обозначают символом (таким образом, ), при этом если оба отображения и являются функциями, то их суперпозицию называют сложной функцией.