- •Множества и действия над ними.
- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
- •Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- •Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
- •Число e.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках.
- •Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
- •Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
- •Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности.
- •Критерий Коши существования предела функции.
- •Локальные свойства функций имеющих предел.
- •Теорема о пределе суперпозиции.
- •Односторонние пределы.
- •Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •Замечательные пределы
- •Асимптоты графика функции
- •Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела.
- •Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры
- •Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях.
- •Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции к непрерывной и строго монотонной функции.
- •Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.
- •Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
- •Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
- •Дифференцирование сложной функции.
- •Дифференцирование обратной функции.
- •Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.
- •Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Формула Тейлора для многочлена.
- •Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
- •Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- •Правило Лопиталя.
- •Условия монотонности функции.
- •Условия экстремума функции.
- •Условия выпуклости функции.
- •Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция является выпуклой. Выберем произвольно , , и покажем, что (9)
- •Точки перегиба графика функции.
- •Множество вещественных чисел (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (абсолютная величина вещественного числа) и его свойства.
- •Комплексные числа.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если .
Замечание 1. Очевидно, что если , то , (т.е. - б. м. последовательность) при этом .
Наоборот, если имеет место это равенство и - б. м. последовательность, то .
Таким образом, последовательность имеет предел тогда и только тогда, когда она равна сумме постоянной и бесконечно малой последовательностей.
Теорема 1. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.
Определение 2. Если для любого вещественного числа E N: xn > E n > N (соотв., xn < E n > N ), то говорят, что последовательность имеет своим пределом , и пишут или .
Определение 3. Последовательность такую, что , называют бесконечно большой и пишут (символ употребляется без знака).
Теорема 2. Если последовательность - бесконечно большая и то - бесконечно малая последовательность.
Теорема 3. Если - бесконечно малая последовательность и при n = 1,2,…, то последовательность -бесконечно большая.
Замечание 2. Последовательности, имеющие своим пределом + или - мы не относим к сходящимся, то есть они считаются расходящимися. Таким образом, можно сказать, что сходящиеся последовательности – это такие последовательности, которые имеют конечный предел.
Замечание 3. Последовательности, имеющие пределы + или -, очевидно, являются бесконечно большими. Однако не всякая бесконечно большая последовательность имеет предел равный + или -. Например, последовательность очевидно является бесконечно большой ( ), но она не имеет ни конечного, ни какого-то бесконечного () предела.
Лемма о вложенных отрезках.
Лемма. Для любой последовательности вложенных отрезков , ( ), их пересечение не пусто.
Более того, если длины этих отрезков стремятся к нулю , то это пересечение состоит из одной точки.
Доказательство. Из определения о вложенных отрезках.
, что для любого , следовательно, существует
, что для любого , и существует
Так как мы доказываем единственность точки, следовательно, пределы последовательностей в этой точке и равны. Из этого следует,
Как нам известно , а , то
Что и требовалось доказать.
Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
Пусть – произвольная числовая последовательность, – возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность , , , называется подпоследовательностью последовательности и обычно обозначается или, короче, .
Теорема 1. Всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится и имеет тот же предел, что и исходная последовательность.
Теорема 2 (Больцано-Вейерштрасса). Всякая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Так как последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку x. В таком случае из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке x.
Замечание 1. Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.
В самом деле, в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из этой подпоследовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.
Замечание 2. Пусть {xn} - ограниченная последовательность, элементы которой находятся в сегменте [a, b]. Тогда предел с любой сходящейся подпоследовательности также находится на сегменте [a, b].
Действительно, так как , то в силу следствия 2 выполняются неравенства a ≤ c ≤ b. Это и означает, что c находится на сегменте [a, b].
Отметим, что в отдельных случаях и из неограниченной последовательности также можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, последовательность 1, 1/2, 2, 1/3, ..., n, 1/(n+1), ... неограниченная, однако подпоследовательность 1/2, 1/3, ..., 1/n, ... ее элементов с четными номерами сходится. Но не из каждой неограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Например, любая подпоследовательность неограниченной последовательности 1, 2, ..., n, ... расходится. Поэтому теорему Больцано-Вейерштрасса, вообще говоря, нельзя распространить на неограниченные последовательности.