- •Множества и действия над ними.
- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
- •Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- •Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
- •Число e.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках.
- •Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
- •Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
- •Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности.
- •Критерий Коши существования предела функции.
- •Локальные свойства функций имеющих предел.
- •Теорема о пределе суперпозиции.
- •Односторонние пределы.
- •Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •Замечательные пределы
- •Асимптоты графика функции
- •Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела.
- •Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры
- •Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях.
- •Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции к непрерывной и строго монотонной функции.
- •Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.
- •Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
- •Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
- •Дифференцирование сложной функции.
- •Дифференцирование обратной функции.
- •Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.
- •Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Формула Тейлора для многочлена.
- •Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
- •Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- •Правило Лопиталя.
- •Условия монотонности функции.
- •Условия экстремума функции.
- •Условия выпуклости функции.
- •Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция является выпуклой. Выберем произвольно , , и покажем, что (9)
- •Точки перегиба графика функции.
- •Множество вещественных чисел (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (абсолютная величина вещественного числа) и его свойства.
- •Комплексные числа.
Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры
Определение 1. Пусть функция определена на множестве и . Если функция непрерывна в точке , то она называется точкой непрерывности функции . В противном случае, точка называется точкой разрыва функции .
Замечание 1. Так как всякая изолированная точка множества является точкой непрерывности определенной на нем функции , то точками разрыва могут быть только точки сгущения множества , принадлежащие этому множеству. Часто, однако, к точкам разрыва функции относят и точки, не принадлежащие области ее определения, но в которых существуют оба односторонних ее предела и , при этом допускается, что оба они или один из них являются бесконечными. Так обычно, точка считается точкой разрыва функции , хотя в смысле определения 1 она таковой не является, поскольку не принадлежит области определения этой функции.
Замечание 2. Если – точка разрыва функции , то либо предел не существует, либо он существует, но .
Определение 2. Пусть – точка разрыва функции . Если оба односторонних предела и существуют и конечны, то она называется точкой разрыва 1-го рода
Определение 3. Точка разрыва 1-го рода называется точкой устранимого разрыва функции , если в ней существует предел функции , но он не равен ее значению в этой точке.
Замечание 3. Если точка – точка устранимого разрыва функции , то изменив ее значение в этой точке на значение, равное величине предела в этой точке, получим непрерывную функцию в этой точке:
.
Этим и объясняется термин точка устранимого разрыва.
Определение 4. Точка разрыва функции называется точкой разрыва 2-го рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода.
Замечание 4. Иными словами точка разрыва функции является точкой разрыва 2-го рода, если в ней хотя бы один из односторонних пределов не существует, либо является бесконечным.
Проиллюстрируем данные выше определения на некоторых примерах.
Пример 1 (всюду разрывной функции). Функция Дирихле, определенная на всей числовой оси равенствами:
является разрывной в каждой точке . Действительно, для любой последовательности рациональных чисел , сходящейся к точке , имеем , а для любой последовательности иррациональных чисел , , в свою очередь, имеем . Следовательно, ни в одной точке не существует предел , т.е. каждая точка – точка разрыва функции Дирихле. Более того, нетрудно видеть, что ни в одной точке не существует ни один из односторонних придела и , так как описанные выше последовательности и , с одной стороны, можно выбрать так, что , а с другой стороны, можно выбрать и так, что . Таким образом, каждая точка – точка разрыва 2-го рода функции Дирихле.
Пример 2. Функция «сигнум »
о чевидно, разрывна в точке , причем эта точка – точка разрыва 1-го рода.
Пример 3. Функция разрывна в точке , которая, очевидно, является точкой устранимого разрыва.