Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
Пусть функция определена в окрестности точки .
Определение
1. Если существует такая линейная
функция
вещественного аргумента
(
),
что приращение
функции
может быть представлено в виде
(1), где
при
,
то функция
называется дифференцируемой в точке
,
а соответствующая линейная функция
аргумента
называется
ее дифференциалом в этой точке.
Дифференциал
функции
в точке
обычно обозначается одним из символов:
или
.
В
последнем случае имеют в виду, что
,
при этом часто опускают указание о том,
в какой точке рассматривается этот
дифференциал, т.е. для обозначения
дифференциала используют символы
или
.
Таким образом,
(2).
Замечание
1. Очевидно, равенство (1) можно записать
в виде
(1’), где
и
,
(т.е.
- бесконечно малая при
высшего порядка по сравнению с
)
или, короче, в виде
(1’’), где
- приращение функции в точке
,
соответствующее приращению аргумента
.
Замечание
2. Поскольку
,
то вместо (2) также пишут:
(2’)
Теорема 1. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную .
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость.
Пусть функция
дифференцируема в точке
.
Тогда из равенства (1) следует, что
Это
означает, что существует конечная
производная
.
Достаточность.
Предположим, что в точке
функция
имеет конечную производную
.
Тогда из равенства
следует, что
(3), где
- бесконечно малая при
функция. Поэтому
(4) и так как
(ибо
),
то равенство (4) можно записать в
виде:
(5) в виде (1), где
.
Таким образом, функция
дифференцируема в точке
□
Замечание
3. Из доказательства теоремы видно,
что дифференциал функции в точке
есть следующая линейная функция от
приращения аргумента
:
(6). А поскольку для функции
имеем
, то
,
т.е.
,
Таким
образом, можно сказать, что
- дифференциал
независимой переменной
и, следовательно, определению дифференциала
можно придать форму:
.
(7)
Отсюда, в частности, становится понятным, почему производную обозначают также .
Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
Теорема.
Пусть функции
и
определены в окрестности точки
и дифференцируемы в этой точке. Тогда
в этой точке дифференцируема и каждая
из функций
,
,
и
(при
),
причем
(1),
(2),
(3),
(4).
Д
о к а з а т е л ь с т в о. 1.
Дифференцируемость
функции
и равенство
(1) очевидно
будут установлены, если будут установлены
дифференцируемость функции
и равенство (3). В этом случае достаточно
будет рассмотреть функцию
.
2.
Дифференцируемость
функции
и равенство
(2) вытекают из того, что имеют место
равенства
и
из того, что по условию существуют
конечные пределы
и
,
при этом
следует помнить, что дифференцируемость
функции в точке
равносильна существованию конечной ее
производной в этой точке.
3. Дифференцируемость произведения функций и равенство (3).
Пусть
.
Тогда
,
и, следовательно,
(5).
В
силу дифференцируемости функций
и
в точке
,
существуют конечные пределы
,
и
(6). Поэтому из (5) следует, что существует
конечный предел
(7), т.е. функция
дифференцируема в точке
.
Переходя в равенстве (5) к пределу при
с учетом равенств (6) и (7) получим равенство
(3).
4.
Дифференцируемость
и равенство
(4). Положим
.
По крайней мере, в некоторой окрестности
точки
,
это определение корректно, так как
и функция
непрерывна в точке
.
Далее,
имеем:
,
и, следовательно,
.
Рассуждая
теперь аналогично пункту 3 данного
доказательства, убеждаемся, что функция
дифференцируема в точке
,
а переходя здесь к пределу при
получим также и равенство (4) □
Замечание
(о формулах для дифференциалов, вытекающих
из формул (1) - (6)). Учитывая, что дифференциал
функции
в точке
находится по правилу
из формул (1)–(4) , умножая каждую из них
на
,
получим следующие формулы для
дифференциалов:
,
(здесь
);
;
;
.