- •Множества и действия над ними.
- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
- •Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- •Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
- •Число e.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках.
- •Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
- •Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
- •Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности.
- •Критерий Коши существования предела функции.
- •Локальные свойства функций имеющих предел.
- •Теорема о пределе суперпозиции.
- •Односторонние пределы.
- •Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •Замечательные пределы
- •Асимптоты графика функции
- •Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела.
- •Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры
- •Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях.
- •Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции к непрерывной и строго монотонной функции.
- •Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.
- •Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
- •Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
- •Дифференцирование сложной функции.
- •Дифференцирование обратной функции.
- •Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.
- •Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Формула Тейлора для многочлена.
- •Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
- •Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- •Правило Лопиталя.
- •Условия монотонности функции.
- •Условия экстремума функции.
- •Условия выпуклости функции.
- •Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция является выпуклой. Выберем произвольно , , и покажем, что (9)
- •Точки перегиба графика функции.
- •Множество вещественных чисел (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (абсолютная величина вещественного числа) и его свойства.
- •Комплексные числа.
Дифференцирование сложной функции.
(суперпозицию двух и более функций мы называем также сложной функцией)
Теорема. Пусть функция определена на интервале , а функция определена на интервале , причем . Тогда если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и (1)
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу дифференцируемости функций и , соответственно, в точках и , имеем ; (2), и ; (3). Как известно (4), где - бесконечно малая при , причем без ущерба для общности можно считать, что , то есть можно считать, что функция непрерывна в точке . Из (3) и (4) следует, что . Подставляя сюда , и используя затем равенство (2), получим и, следовательно, (5).
Поскольку функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке и , то по теореме о непрерывности сложной функции .
А так как, кроме того, , то из (5) следует, что существует конечная производная и имеет место равенство (1). Для завершения доказательства теоремы остается вспомнить, что существование конечной производной равносильно дифференцируемости функции в точке
Замечание. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда по определению дифференциала (6), и, в силу равенства (1), для сложной функции будем иметь или (7).
Считая точку произвольной (то есть заменяя на произвольное ). Равенства (6) и (7) записывают в виде (6¢), (7¢).
Эти формулы показывают, что формально вид дифференциала не меняется как при записи его через независимую переменную , так и при записи через зависимую переменную . В этом состоит, так называемое, свойство инвариантности дифференциала, который называют также первым дифференциалом.
Дифференцирование обратной функции.
no1. Теорема об обратной функции к непрерывной строго монотонной функции.
Прежне всего напомним, что по следствию из второй теоремы Больцано-Коши если функция определена и непрерывна на конечном или бесконечном промежутке , то множество ее значений также есть промежуток , где .
Это утверждение дополняет следствие из второй теоремы Вейерштрасса:
Множество значений непрерывной на отрезке функции является отрезком , где , .
В свою очередь, последнее утверждение дополняет следующая Теорема 1 (критерий непрерывности монотонной функции). Для того, чтобы монотонная на отрезке функция была непрерывной на нем, необходимо и достаточно, чтобы множество ее значений было отрезком.
Напомним также, что справедлива следующая важная Теорема 2 (об обратной функции к непрерывной, строго монотонной). Пусть функция непрерывна и строго монотонна на отрезке . Тогда существует обратная к ней функция , которая является непрерывной и строго монотонной в том же смысле, что и функция .
Следствие. Пусть функция непрерывна и строго монотонна на произвольном промежутке . Тогда обратная к ней функция непрерывна и строго монотонна (в том же смысле что и функция ) на промежутке .
no1. Теорема о дифференцировании обратной
Теорема 3. Пусть функция строго монотонна и непрерывна в окрестности точки . Пусть, кроме того, функция дифференцируема в точке и . Тогда обратная к ней функция дифференцируема в точке , причем (1)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий теоремы следует, что существует конечный, отличный от нуля предел . Тогда по теореме о пределе частного существует конечный предел (2). Рассмотрим функцию (3).
В силу строгой монотонности функции она определена в проколотой окрестности точки . В точке функция имеет конечный предел (2). Поэтому если доопределить ее в этой точке равенством ,
то она будет непрерывной в этой точке. Тогда учитывая, что функция непрерывна в точке (как обратная к непрерывной, строго монотонной функции ), по теореме о непрерывности суперпозиции заключаем, что сложная функция будет непрерывной в той же точке и, следовательно, (4).
Но в силу (3) в некоторой проколотой окрестности точки имеет место равенство . Поэтому из (4) следует, что функция дифференцируема в точке и имеют место равенства (1) □