Число e.
Предположим,
что в некотором банке годовая процентная
ставка равняется 100%. Такие ставки по
банковским вкладам действительно были
в России в первой половине 90-х годов
минувшего столетия. Далее предположим,
что если вклад пролежал на счете a
дней, то банк
начисляет за этот срок проценты по
вкладу в размере
,
т. е. пропорционально сроку вклада,
исходя из годовой ставки 100% (для простоты
считаем, что в году 365 дней). Попытаемся
выяснить, можно ли при указанных условиях
вклада получить больше 100% годовых?
Если мы поместим одну денежную единицу (скажем, 1 тысячу рублей) на полгода, то, сняв вклад в размере 1,5 (полутора) единиц через полгода и положив сразу же их в тот же банк, в конце года мы получим уже
(1 + 0.5)(1 + 0.5) = 2.25 единиц
то есть получим 125% годовых, что больше чем установленная банком годовая ставка.
Нетрудно
понять, что если мы в течение года будем
n
раз
переоформлять вклад через равные периоды
времени, то положив одну единицу в начале
года, в конце года мы получим
единиц, т. е. получим
годовых. Очевидно, что при любом
натуральном n,
мы таким образом получим больше 100%
годовых. Поэтому банки начисляют проценты
по вкладам – речь идет о вкладах под
простые проценты, – пролежавшим меньше
года по специальным правилам, а именно,
так, что реальная годовая ставка при
указанной выше процедуре n
– кратного «снятия – вложения» вклада
не превышает установленной ими годовой
ставки (в нашем случае рассматривалась
ставка 100%).
«Существует
ли предел последовательности
,
и если существует, то чему равен этот
предел»? Для того, чтобы дать ответ нам
этот вопрос понадобится следующая
лемма:
Лемма
1. Для
любого
и любого
справедливо неравенство
(1)
Д о к
а з а т е л ь с т в о.
Проведем его по индукции. При n
= 1 неравенство
(1), очевидно, выполняется как равенство
(вообще при любом
).
Предположим,
что оно справедливо при
n
= k,
т.е. предположим, что
.
Тогда
,
т.е. оно
справедливо и при n
= k
+ 1. Таким
образом, в соответствии с методом
математической индукции неравенство
(1) верно
.
Замечание 1. Обратите внимание на то, где мы при доказательстве воспользовались условием, что .
Лемма
2. Существует
предел
.
Д
о к а з а т е л ь с т в о.
Рассмотрим сначала последовательность
,
Используя неравенство
Бернулли,
при
будем
иметь:
Таким
образом,
и следовательно
,
то есть последовательность
- убывающая.
Кроме
того, очевидно, что последовательность
положительная
.
Следовательно, она ограничена снизу.
Поэтому существует предел
Возвращаясь к интересующей нас
последовательности
,
,
видим, что
.
Поскольку существуют пределы:
и
,
то по теореме о пределе произведения
последовательностей существует и предел
т.е.
предел
■
Замечание 2. Этот предел обозначают буквой e и называют числом e. Можно доказать, что число e иррациональное. В настоящее время оно вычислено с большей степени точности в частности, в пределах первых пятнадцати знаков после запятой
e = 2,718281828459045…