- •Множества и действия над ними.
- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
- •Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- •Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
- •Число e.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках.
- •Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
- •Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
- •Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности.
- •Критерий Коши существования предела функции.
- •Локальные свойства функций имеющих предел.
- •Теорема о пределе суперпозиции.
- •Односторонние пределы.
- •Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •Замечательные пределы
- •Асимптоты графика функции
- •Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела.
- •Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры
- •Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях.
- •Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции к непрерывной и строго монотонной функции.
- •Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.
- •Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
- •Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
- •Дифференцирование сложной функции.
- •Дифференцирование обратной функции.
- •Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.
- •Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Формула Тейлора для многочлена.
- •Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
- •Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- •Правило Лопиталя.
- •Условия монотонности функции.
- •Условия экстремума функции.
- •Условия выпуклости функции.
- •Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция является выпуклой. Выберем произвольно , , и покажем, что (9)
- •Точки перегиба графика функции.
- •Множество вещественных чисел (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (абсолютная величина вещественного числа) и его свойства.
- •Комплексные числа.
Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
Определение 1. Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке .
Определение 2. Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если для любого такое, что , удовлетворяющих неравенству (1) имеет место неравенство . (2)
Замечание 1. В обоих этих определения не исключается, что
Замечание 2. Очевидно, если функция равномерно непрерывна на множестве , то она и непрерывна на нем. Как показывает приводимый ниже пример, обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т.е. из непрерывности функции на множестве , вообще говоря, не следует, что она равномерно непрерывна на этом множестве.
Пример 1. Функция непрерывна на множестве . Покажем, что она не является равномерно непрерывной на нем. Предположим противное, т.е. что она все же является равномерно непрерывной на множестве . Тогда такое, что при , , (3) будет справедливо неравенство . (4)
Пусть . Для этих точек условия (3) выполнены и, следовательно, имеет место неравенство (4). Это неравенство, в частности показывает, что при фиксированном , функция ограничена на интервале . Но это противоречит тому, что . Таким образом, непрерывная на множестве функция не является равномерно непрерывной на этом множестве □
Замечание 3. Отличие понятия равномерно непрерывной на множестве функции от понятия непрерывной на нем функции состоит в том, что если функция – непрерывна на множестве , то для каждой точки и для каждого существует свое, т.е. зависящее и от , и от точки число , которое для всех , удовлетворяющих неравенству (5) гарантирует выполнение неравенства (6).
Если же функция – равномерно непрерывна на множестве , то для каждого независимо от выбора точки существует зависящее только от выбранного число , которое для всех , удовлетворяющих неравенству (5), гарантирует выполнение неравенства (6).
Следующая теорема указывает тот важный частный случай, когда из непрерывности функции на множестве следует также и ее равномерная непрерывность на том же множестве.
Теорема 1 (Кантора). Непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на этом отрезке.
Воспользуемся доказательством от противного.
Пусть f(x) — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте A), но не равномерно непрерывная на нём. Тогда существует такое ε, что для всех δ > 0 существуют такие x и y, расстояние между которыми меньше δ, но расстояние между их образами не менее ε: но
Возьмём последовательность {δk}, сходящуюся к 0, например, . Построим последовательности xk и yk так, чтобы , тогда d(f(xk),f(yk)) > ε, A — компакт, поэтому можно выделить сходящиеся последовательности: Но так как расстояние между ними стремится к нулю, по лемме о вложенных отрезках они стремятся к одной точке: . И, так как f непрерывна , что противоречит предположению, что .
Стало быть, функция, непрерывная на компакте, действительно равномерно непрерывна на нём.