- •Множества и действия над ними.
- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
- •Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- •Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
- •Число e.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках.
- •Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
- •Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
- •Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности.
- •Критерий Коши существования предела функции.
- •Локальные свойства функций имеющих предел.
- •Теорема о пределе суперпозиции.
- •Односторонние пределы.
- •Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •Замечательные пределы
- •Асимптоты графика функции
- •Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела.
- •Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры
- •Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях.
- •Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции к непрерывной и строго монотонной функции.
- •Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.
- •Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
- •Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
- •Дифференцирование сложной функции.
- •Дифференцирование обратной функции.
- •Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.
- •Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Формула Тейлора для многочлена.
- •Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
- •Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- •Правило Лопиталя.
- •Условия монотонности функции.
- •Условия экстремума функции.
- •Условия выпуклости функции.
- •Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция является выпуклой. Выберем произвольно , , и покажем, что (9)
- •Точки перегиба графика функции.
- •Множество вещественных чисел (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (абсолютная величина вещественного числа) и его свойства.
- •Комплексные числа.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
Теорема 2. Пусть функция и все ее производные до порядка включительно являются непрерывными функциями на отрезке с концами в точках и , а во внутренних точках этого отрезка существует конечная производная . Тогда, для любой непрерывной на этом отрезке функции , дифференцируемой во внутренних точках этого отрезка и имеющей в каждой из этих точек отличную от нуля производную, существует такая точка , лежащая между точками и , что остаточный член в формуле Тейлора может быть записан в виде . (1)
Д о к а з а т е л ь с т в о. На отрезке с концами в точках и рассмотрим функцию переменной : , где .
Из условий теоремы следует, что на отрезке функция обладает теми же свойствами, что и функция . Точнее, на отрезке функции и удовлетворяют всем условиям теоремы Коши о среднем значении для дифференцируемых функций.
По этой теореме между точками и найдется такая точка , что (2)
Поскольку , (3) то нетрудно видеть, что . (4)
К тому же, как следует из (3), (5) и (6) Из формул (2), (4) – (6) имеем : . В свою очередь отсюда, с учетом того, что по условию теоремы ( - внутренняя точка отрезка ), получим искомое равенство (1) □
Следствие. Если на отрезке с концами в точках и функция и все ее производные до порядка включительно являются непрерывными функциями, а во внутренних точках этого отрезка существует конечная производная , то остаточный член в формуле Тейлора (7) может быть записан, как в форме Коши: , (8) так и в форме Лагранжа: (9) (здесь лежит между точками и , при этом является, вообще говоря, разной в формулах (8) и (9)).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Формула (8) вытекает из формулы (1), если в ней положить . В свою очередь, формула (9) вытекает из той же формулы (1), если в последней положить . Таким образом, если выполнены условия следствия из теоремы 2, то формулу Тейлора для функции можно записать как в виде (10) (формула Тейлора с остаточным членов в форме Лагранжа), так и в виде (11) (формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши)□
Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
Если , то формула Тейлора функции имеет особенно простой вид: (1)
В этом случае она называется формулой Маклорена. Остаточный член в ней в форме Пеано, Лагранжа и Коши, соответственно, имеет вид
,
,
и
.
Укажем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
. Пусть . Эта функция имеет производные любого порядка и в любой точке (в таких случаях говорят, что функция бесконечно дифференцируема на всей числовой оси).
Как известно . Поэтому формула Маклорена функции имеет вид ( ): , где остаточный член можно записать в любой из форм:
( в форме Пеано)
( в форме Лагранжа) и (в форме Коши), где точка в каждой из двух последних формул лежит между точками и .
. Пусть . Так как эта функция бесконечно дифференцируема на всей вещественной оси и , то ; и, следовательно, . При этом остаточный член в форме Пеано имеет вид: , соответственно остаточный член в форме Лагранжа выглядит следующим образом: (2), а остаточный член в форме Коши имеет вид: (3)
Замечание 1. Для доказательства, например, равенства (2) достаточно заметить, что остаточный член в форме Лагранжа в общем случае имеет вид: , а затем убедиться в том, что для функции имеют место равенства .
. Пусть . Эта функция также бесконечно дифференцируема . Поскольку здесь , то . Поэтому имеем, , при этом остаточный член имеет вид: (в форме Пеано); ( в форме Лагранжа); ( в форме Коши).