39. Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.

Теорема 1 (теорема Ролля). Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает равные значения : (1). Тогда существует такая точка , что . (2)

Замечание 1. Из геометрических соображений теорема Ролля очевидна: если выполнены условия теоремы , то найдется такая точка , что в точке графика функции касательная к графику параллельна оси абсцисс и, следовательно тангенс угла наклона касательно в этой точке равен нулю , что равносильно (2).

Д о к а з а т е л ь с т в о. По первой теореме Вейерштрасса (о непрерывной на отрезке функции) функция ограничена на отрезке . Следовательно числа и конечны.

Если , то очевидно функция является постоянной на отрезке . Тогда в качестве точки , для которой имеет место (2), можно взять любую точку интервала .

Пусть . Тогда выполнено по крайней мере одно из неравенств (3) и (4)

Пусть, например, имеет место (4). По второй теореме Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции , при этом в силу (4) и , т.е. . По определению числа точка является точкой глобального максимума функции . Поэтому по теореме Ферма в этой точке имеет место равенство (2) □

Теорема 2 (Лагранжа). Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале .Тогда найдется такая точка , что (5)

Замечание 2. Терема 2 также имеет простой геометрический смысл. При выполнении ее условий на графике функции найдется такая точка , что в точке , касательная в которой к графику параллельна хорде, стягивающей точки и .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию

Она очевидно непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает равные значения: .Тогда по теореме Ролля , т.е. , а это равносильно равенству (5)□

Замечание 3. Формулу (5) называют формулой конечных приращений Лагранжа. Очевидно, она может быть записана в виде

Для этого достаточно положить в (5) , , a выбрать из условия , т.е. положить . Нетрудно видеть, что формула верна как при , так и при .

Теорема 3 (Коши). Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале . Тогда _: (6)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию .

Она, очевидно, удовлетворяет условию теоремы Ролля, согласно которой , т.е. , что равносильно равенству (6)□

40. Производные и дифференциалы высших порядков.

Понятие производной порядка . Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема в этой окрестности, т.е. дифференцируема в каждой точке . Тогда в окрестности определена новая функция , которая, называется производной функции на множестве . Если функция имеет в точке производную, то ее называют второй производной или производной второго порядка функции в этой точке и обозначают одним из символов при этом часто аргумент – точку, в которой вычисляется эта производная, опускают. Таким образом , при этом, если функция дифференцируема в точке , т.е. имеет в ней конечную производную, то говорят, что функция дважды дифференцируема в этой точке.

Аналогично понятию второй производной функции в точке вводится понятие третьей производной (ее обозначают также или ) и, вообще производной любого порядка .

Точнее, общее определение производной порядка вводится индуктивно. А именно, если функция имеет в каждой точке конечную производную , то производная функции в точке называется производной -го порядка функции в точке и обозначается одним из символов .

Таким образом,

Наконец, мы будем говорить, что функция раз дифференцируема в точке , если в некоторой окрестности этой точки она имеет конечную производную порядка (а стало быть имеет и все производные , ,…, ) и функция дифференцируема в точке .

В соответствии с данным выше определением производную функции в точке называют также первой производной функции в этой точке или, также, производной первого порядка этой функции в точке . В дальнейшем условимся считать, что .

Непосредственно из определения производной -го порядка вытекают следующие ее свойства: ( ), , где и – раз дифференцируемые в точке функции.

Механический смысл второй производной. Если кинематический закон движения материальной точки вдоль некоторой кривой, т.е. если – путь, пройденный ей вдоль этой кривой к моменту времени из некоторой начальной точки, то, как известно, первая производная , если она существует, представляет собой мгновенную скорость точки в момент времени .

Вместе с тем отношение называют средним ускорением точки за отрезок времени , а предел (если он существует) называют ускорением точки в момент времени .

Таким образом вторая производная – ускорение точки в момент времени .

Понятие дифференциала порядка . Пусть функция раз дифференцируема в точке (в соответствии с данным выше определением это означает, напомним, что в некоторой окрестности этой точки она имеет конечные производные до порядка включительно, а в самой точке имеет и конечную производную порядка ). Тогда степенная функция переменной называется дифференциалом функции в точке порядка и обозначается или (короче также пишут или ).

Таким образом, для дифференциала порядка функции в точке имеем формулу при этом понятия дифференциала и первого дифференциала (дифференциала порядка 1) совпадают друг с другом.