- •Множества и действия над ними.
- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
- •Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- •Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
- •Число e.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках.
- •Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
- •Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
- •Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности.
- •Критерий Коши существования предела функции.
- •Локальные свойства функций имеющих предел.
- •Теорема о пределе суперпозиции.
- •Односторонние пределы.
- •Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •Замечательные пределы
- •Асимптоты графика функции
- •Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела.
- •Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры
- •Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях.
- •Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции к непрерывной и строго монотонной функции.
- •Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.
- •Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
- •Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
- •Дифференцирование сложной функции.
- •Дифференцирование обратной функции.
- •Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.
- •Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Формула Тейлора для многочлена.
- •Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
- •Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- •Правило Лопиталя.
- •Условия монотонности функции.
- •Условия экстремума функции.
- •Условия выпуклости функции.
- •Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция является выпуклой. Выберем произвольно , , и покажем, что (9)
- •Точки перегиба графика функции.
- •Множество вещественных чисел (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (абсолютная величина вещественного числа) и его свойства.
- •Комплексные числа.
Точки перегиба графика функции.
Определение 2. Пусть функция определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки . Если существует такое , что на интервалах и функция имеет разные направления выпуклости, т.е. на одном из них она выпукла, а на другом, напротив, вогнута, то точка ее графика называется точкой перегиба.
Таким образом, можно сказать, что при переходе через точку перегиба график функции как бы переходит с одной стороны касательной в этой точке на другую ее сторону.
Если точка является точкой перегиба графика дважды дифференцируемой в точке функции , то в соответствии с определением 2 и теоремой 1, а также ее аналогом для вогнутых функций, точка – точка локального экстремума производной и поэтому по теореме Ферма .
Таким образом, условие (10) является необходимым для того, чтобы точка была точкой перегиба графика дважды дифференцируемой функции .
В свою очередь, в силу определения 3 и следствия из теоремы 2 , а также его аналога для вогнутых функций, если на некотором интервале слева от точки вторая производная имеет один знак, а на соответствующем интервале справа от этой точки она имеет другой знак, то этого достаточно для того, чтобы точка была точкой перегиба.
Множество вещественных чисел (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (абсолютная величина вещественного числа) и его свойства.
–множество всех натуральных чисел ( N = {1, 2, 3, . . . } );
– множество всех целых чисел ( = {0, ±1, ±2, ±3, . . . } );
– множество всех рациональных чисел, Q = { x | x = p/q, р Z, q N };
– множества всех вещественных чисел.
Множество вещественных чисел далее иногда будет называться полем вещественных чисел.
Говоря о вещественных числах напомним, что множество вещественных чисел состоит из всех рациональных чисел и из всех иррациональных чисел. Каждое рациональное число можно записать либо в виде конечной десятичной дроби (здесь – целое, а для любого равно одному из чисел 0, 1, 2, …,9), либо в виде периодической бесконечной десятичной дроби ; каждое иррациональное вещественное число отождествляется с бесконечной непериодической десятичной дробью. Таким образом, можно сказать, что множество вещественных чисел это – множество всех десятичных дробей (как конечных, так и бесконечных).
Во множестве вещественных чисел вводятся алгебраические операции сложения и умножения, а также обратные к ним операции вычитания и деления, соответственно.
Между множеством вещественных чисел и точками той или иной прямой можно установить взаимно-однозначное соответствие и, следовательно, множество вещественных чисел можно отождествить с прямой (поэтому оно часто называется числовой прямой).
Между любыми двумя различными вещественными числами лежит по крайней мере одно рациональное число ( таких, что , : ).
Понятие абсолютной величины (или модуля) вещественного числа и ее свойства.
Свойства модуля в.ч.
1о > 0 .
2o
3o .
4o .
5о .
Множество вещественных чисел дополненное элементами и называется расширенным множеством вещественных чисел или расширенной числовой прямой и обозначается (т.о. ).