- •Множества и действия над ними.
- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
- •Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- •Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
- •Число e.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках.
- •Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
- •Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
- •Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности.
- •Критерий Коши существования предела функции.
- •Локальные свойства функций имеющих предел.
- •Теорема о пределе суперпозиции.
- •Односторонние пределы.
- •Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •Замечательные пределы
- •Асимптоты графика функции
- •Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела.
- •Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры
- •Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях.
- •Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции к непрерывной и строго монотонной функции.
- •Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.
- •Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
- •Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
- •Дифференцирование сложной функции.
- •Дифференцирование обратной функции.
- •Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.
- •Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Формула Тейлора для многочлена.
- •Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
- •Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- •Правило Лопиталя.
- •Условия монотонности функции.
- •Условия экстремума функции.
- •Условия выпуклости функции.
- •Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция является выпуклой. Выберем произвольно , , и покажем, что (9)
- •Точки перегиба графика функции.
- •Множество вещественных чисел (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (абсолютная величина вещественного числа) и его свойства.
- •Комплексные числа.
Правило Лопиталя.
При вычислении пределов вида в случаях, когда функции и одновременно являются б.м. или б.б. при невозможно (напрямую) воспользоваться теоремой о пределе частного. В первом из этих случаев говорят, что имеет место неопределенность типа , а во втором, – неопределенность . Достаточно универсальный рецепт раскрытия этих неопределенностей, содержится в приводимых ниже двух теоремах и носит название правила Лопиталя.
Теорема 1. Пусть функции и дифференцируемы на конечном или бесконечном интервале , на и (1). Тогда если существует конечный или бесконечный предел (2), то существует и равный ему предел , т.е. (3)
Замечание 1. Аналогичное утверждение справедливо, если в условиях этой теоремы заменить всюду на .
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 1. Возможны два случая: 1) - конечно и 2) . Рассмотрим сначала случай, когда, например, – конечное.
Доопределим функции и в точке , положив . Тогда, с учетом условия (1), каково бы ни было , в силу дифференцируемости этих функций на интервале они будут непрерывными на отрезке . Следовательно, на всяком таком отрезке функции и удовлетворяют условиям теоремы Коши о среднем значении. Поэтому на любом таком отрезке существует такая точка , что (4) . Заметим, что здесь по условию теоремы . Кроме того, (поскольку , то это равносильно тому, что ).
Действительно, в противном случае, по теореме Ролля, нашлась бы такая точка , что . Но это противоречит условию теоремы, в частности тому, что на .
Из сделанных выше замечаний следует, что равенство (4) можно переписать в виде .
Но, так как , то это равносильно равенству .
Учитывая теперь (2) и то, что при , в силу последнего равенства и теоремы о пределе суперпозиции, имеем .
Рассмотрим второй случай, когда, . Тогда не уменьшая общности можно считать, что (почему?). Учитывая это положим и заметим, что функции и удовлетворяют всем условиям теоремы в первом рассмотренном нами случае, где однако новое при старом , а новое . В частности, поскольку существует предел (2) и (здесь ), то существует и предел (5). Поэтому, по доказанному в 1-м случае (6). А так как (7), то из (5)–(7) следует (3) при □
Теорема 2. Пусть функции и дифференцируемы на конечном или бесконечном интервале , на и . Тогда если существует конечный или бесконечный предел , то существует и равный ему предел .
Замечание 2. Аналогичное утверждение справедливо и при замене условия на условие .
Условия монотонности функции.
Теорема 1. Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда имеют место следующие импликации:
⇒ ⇒ (1)
⇒ ⇒ , (2)
⇒ ⇒ , (3)
⇒ ⇒ . (4)
⇒ ⇒ , (5)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что (5) следует из (2) и (3). Следовательно нужно доказать лишь (1)-(4). Левые импликации в (1)-(5) доказываются на основе формулы конечных приращений Лагранжа. Выберем произвольные точки . По теореме Лагранжа найдется такая точка , что . Отсюда, в частности, следует, что если , то . В силу произвольности выбранных точек , это означает, что функция возрастает на . Таким образом, доказана левая из импликаций (1). Аналогично доказываются левые импликации в (2)-(4). Правые импликации в (1)-(4) доказываются на основе определения производной. Пусть, например, функция возрастает на . Тогда для любого и любого такого, что имеем . Переходя здесь к правостороннему пределу в точке , по теореме о предельном переходе в неравенстве получим . Так как выше точка была выбрана произвольно, то это означает, что имеет место правая из импликаций (1). Аналогично доказываются правые импликации в (2)-(4) □
Замечание 1. Импликации (2), (3) и (5) для дифференцируемой на интервале функции имеют смысл необходимых и достаточных условий и могут быть записаны в виде: ⇔ (2’); ⇔ (3’); ⇔ (5’). Вместе с тем отметим, что левые из импликаций (1) и (4) не обратимы, что иллюстрирует приводимый ниже пример.
Пример 1. Функция , очевидно, является возрастающей на всей вещественной оси, т.е. на интервале , но . Таким образом, условие является достаточным, но не необходимым условием того, чтобы функция была возрастающей на интервале . Аналогично, если рассмотреть функцию , то легко убедиться, в том, что условие является достаточным, но не необходимым условием того, чтобы функция была убывающей на интервале .