Формула Тейлора для многочлена.
Рассмотрим
некоторый многочлен степени
с вещественными коэффициентами:
(1). Зададим
произвольное вещественное число
и в правой части равенства (1) представим
в виде
:
.
Раскрыв здесь квадратные скобки и
приведя подобные члены при одинаковых
степенях
,
в результате получим разложение
многочлена (1) по степеням
:
,
(2), где
- постоянные, зависящие от исходных
коэффициентов и от числа
.
При
больших
,
на практике, указанный выше способ
разложения многочлена по степеням
весьма трудоемок. Оказывается, имеется
простой способ отыскания коэффициентов
разложения многочлена по степеням
.
Будем последовательно дифференцировать
равенство (2):
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
Полагая
в каждом из этих равенств
получим
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
Если
кроме того положить
в (2), то считая, как обычно,
и
будем также иметь
.
Таким образом, для коэффициентов
разложения (2) многочлена по степеням
имеем следующие формулы
,
(3).
В
итоге заключаем, что разложение (2) можно
записать в виде:
(4)
Формула
(4) называется формулой Тейлора в точке
для многочлена
степени
.
Из вывода этой формулы следует, что
разложение многочлена по степеням
является единственным, так как коэффициенты
любого такого разложения однозначно
определяются по формулам (3).
Формулу
Тейлора для многочлена
в
точке
,
то есть формулу
называют также формулой Маклорена.
Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
Пусть
функция
раз дифференцируема в точке
.
Напомним, это означает, что существует
такая окрестность
точки
,
в которой определена сама функция
и существуют конечные производные
,
при этом в точке
существует также конечная производная
.
Поэтому, в частности, определен многочлен
,
который называется (
-ым)
многочленом Тейлора функции
в точке
.
Положим
.
Тогда
Эта формула или, в более явном виде,
формула
(1) называется
формулой
Тейлора
функции в точке
,
а функция
- остаточным
членом формулы Тейлора.
Ниже
будет доказано, что остаточный член
формулы Тейлора может быть записан в
виде
(при
)
(2).
Остаточный
член в такой форме обычно называют
остаточным
членом в форме Пеано,
а формулу Тейлора с остаточным членом
в такой форме, т. е. формулу
(3)
называют, соответственно, формулой
Тейлора с остаточным членом в форме
Пеано или,
также, локальной
формулой Тейлора.
Лемма
1. Пусть
функция
раз дифференцируема в точке
и
(4),
тогда
(5)
Д
о к а з а т е л ь с т в о (по индукции).
При
в силу дифференцируемости функции
в точке
имеем
.
А так как по
условию (4)
,
то это
означает, что
,
таким образом,
при
утверждение леммы справедливо.
Предположим,
что оно справедливо при
,
и покажем, что тогда оно справедливо и
при
.
Действительно,
поскольку при
по условию (4), в частности,
,
то по индукционному предположению для
функции
справедливо
(6)
Далее,
так как функция
раз дифференцируема в точке
и
,
то для любой точки
из некоторой окрестности
имеет
место формула конечных приращений
Лагранжа
,
(7) где
точка
лежит между точками
и
.
Но так как
,
то из формул (6) и (7) следует, что
.
Полагая
здесь
будем иметь
.
Поэтому равенство (5) при
будет
доказано, если будет показано, что
(8)
Действительно, так как точка лежит между точками и , то
|
(9) |
и, следовательно,
|
(10) |
Остаётся
заметить, что в силу (9)
при
и, значит,
Тогда по принципу двух милиционеров из (10) следует (8)
Теорема 1. Если функция раз дифференцируема в точке , то для нее имеет место формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (3).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что при выполнении условий теоремы функция
Удовлетворяет условиям леммы 1
Замечание 1. Вот другая, равносильная формулировка теоремы 1: Если функция имеет в точке конечные производные до порядка включительно, то для нее имеет место локальная формула Тейлора (3).