- •Множества и действия над ними.
- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
- •Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- •Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
- •Число e.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках.
- •Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
- •Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
- •Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности.
- •Критерий Коши существования предела функции.
- •Локальные свойства функций имеющих предел.
- •Теорема о пределе суперпозиции.
- •Односторонние пределы.
- •Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •Замечательные пределы
- •Асимптоты графика функции
- •Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела.
- •Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры
- •Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях.
- •Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции к непрерывной и строго монотонной функции.
- •Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.
- •Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
- •Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
- •Дифференцирование сложной функции.
- •Дифференцирование обратной функции.
- •Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.
- •Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Формула Тейлора для многочлена.
- •Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
- •Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- •Правило Лопиталя.
- •Условия монотонности функции.
- •Условия экстремума функции.
- •Условия выпуклости функции.
- •Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция является выпуклой. Выберем произвольно , , и покажем, что (9)
- •Точки перегиба графика функции.
- •Множество вещественных чисел (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (абсолютная величина вещественного числа) и его свойства.
- •Комплексные числа.
Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
Отображение называется
а) сюръективным или отображением “на”, если ;
b) инъективным или взаимно однозначным отображением «в», если из того, что следует, что (или, равносильно, если из того, что следует, что );
в) биективным или взаимно однозначным отображением «на» или также взаимно однозначным соответствием, если оно одновременно инъективно и сюръективно.
Пусть отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами и , т.е. является биективным. Тогда можно определить новое отображение , полагая, что его образом при отображении является тот единственный элемент , образом которого при отображении является соответствующий элемент : .
Так определенное отображение g называется обратным к отображению и обозначается , т.е. .
Отображение такое, что , , называется тождественным отображением множества в себя.
Непосредственно из определения обратного отображения следует, что
а) обратное отображение биективно;
б) имеют место равенства , т.е. и , т.е. ;
в) обратным к отображению является отображение , т.е. и, следовательно, отображения и являются взаимно обратными.
Если отображение является числовой функцией и имеет обратное отображение , то это обратное отображение называется обратной функцией (к функции ).
Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
Для любых непустых подмножеств и числовой прямой , обладающих тем свойством, что , существует, по крайней мере, одно такое число , которое разделяет эти множества, т.е. .
(Образно говоря, аксиома непрерывности гласит, что множество вещественных чисел не имеет дыр.)
Наименьшая из верхних граней множества называется точной верхней гранью этого множества, а наибольшая из его нижних граней называется точной нижней гранью этого множества.
(Точная верхняя грань множества обозначается символом , а точная нижняя грань множества обозначается ).
Второе определение точной верхней грани:
Число называется точной верхней гранью множества , если
1) и
2) .
(Условие 1) здесь означает, что С- верхняя грань множества , а условие 2), в свою очередь, означает, что никакое число, меньшее чем С, верхней гранью множества уже не является и, следовательно, число C является наименьшей из верхних граней множества )
Второе определение точной нижней грани:
Число называется точной нижней гранью множества если
1) (⇒ с – нижняя грань ) и
2) (⇒, с учетом j), c – наименьшая нижняя грань ).
(Не всякое числовое множество имеет наибольший, как и наименьший элемент. Так, например, любой интервал не имеет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, а обе его точные грани существуют , при этом , а ; любой полуинтервал не имеет наибольшего элемента, но имеет наименьший элемент, а любой полуинтервал имеет наибольший элемент, но не имеет наименьшего.)