- •Множества и действия над ними.
- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
- •Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- •Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
- •Число e.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках.
- •Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
- •Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
- •Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности.
- •Критерий Коши существования предела функции.
- •Локальные свойства функций имеющих предел.
- •Теорема о пределе суперпозиции.
- •Односторонние пределы.
- •Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •Замечательные пределы
- •Асимптоты графика функции
- •Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела.
- •Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры
- •Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях.
- •Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции к непрерывной и строго монотонной функции.
- •Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.
- •Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
- •Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
- •Дифференцирование сложной функции.
- •Дифференцирование обратной функции.
- •Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.
- •Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Формула Тейлора для многочлена.
- •Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
- •Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- •Правило Лопиталя.
- •Условия монотонности функции.
- •Условия экстремума функции.
- •Условия выпуклости функции.
- •Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция является выпуклой. Выберем произвольно , , и покажем, что (9)
- •Точки перегиба графика функции.
- •Множество вещественных чисел (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (абсолютная величина вещественного числа) и его свойства.
- •Комплексные числа.
Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
Лемма 1. Если , и , то существует такой номер , что .
Д о к а з а т е л ь с т в о разбирается на лекции.
Теорема 2 (о предельном переходе в неравенстве). Если каждая из последовательностей и сходится и , то .
В самом деле, элементы последовательности {yn - xn} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что
Замечание. Из того, что , и , в общем случае, следует только, что , а не то, что . Для этого достаточно рассмотреть, например, следующие последовательности и :
Теорема 3 (принцип двух милиционеров). Если , а последовательности и сходятся и имеют один и тот же предел, то сходится и последовательность ,при этом .
Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть и . (8) Требуется доказать, что (9). Для этого выберем произвольное и покажем, что такое, что (10) Поскольку имеют место равенства (8), то найдется такой номер , что и , а так как , то отсюда следует, что . Следовательно , что равносильно (10), а это в силу произвольности (9) □
Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
Определение 1. Последовательность называется
а) возрастающей, если ;
б) неубывающей, если ;
в) убывающей, если ;
г) невозрастающей, если ;
д) монотонной, если она относится к одному из указанных выше типов а) – г);
е) строго монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей.
Теорема 1. Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.
Поскольку всякая сходящаяся, и даже необязательно монотонная, последовательность ограничена, то из этой теоремы вытекает такое Следствие. Для того, чтобы монотонная последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной. Всякая неубывающая последовательность , ограничена снизу (числом ). Следовательно, для ее ограниченности достаточно, чтобы она была ограниченной сверху. Поэтому справедливы следующие уточнения теорема и ее следствия.
Теорема 2. Всякая неубывающая, ограниченная сверху числовая последовательность сходится, при этом
Следствие. Для того, чтобы неубывающая числовая последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.Аналогично, для невозрастающих последовательностей справедливы следующие утверждения:
Теорема 3. Всякая невозрастающая, ограниченная снизу числовая последовательность сходится, при этом
Следствие. Для того, чтобы невозрастающая числовая последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.
Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
П р и м е р 1. , если q > 1. Действительно, здесь = , . Поэтому = , (1) а так как = = = < 1, то найдется номер N, такой, что при > N будем иметь и следовательно, при тех же < . Следовательно, если отбросить первые N членов рассматриваемой последовательности, то оставшиеся ее члены будут составлять монотонно убывающую последовательность, которая к тому же ограничена снизу (все ее члены положительные) и в силу этого сходится (теорема 3). Поскольку отбрасывание конечного числа членов последовательности не влияет на ее сходимость, то это означает, что сходится и исходная последовательность.
Найдем теперь ее предел. Пусть . Тогда с учетом равенства (1) будем иметь = = ∙ = . Поэтому = 0 и, следовательно, = 0 □
С л е д с т в и е 1. = 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. При фиксированном по доказанному в 1-м примере (здесь ). Поэтому найдется такое, что при будем иметь и, следовательно, при . А тогда при и тем более при .
В силу произвольности это и означает, что = 1 □
С л е д с т в и е 2. = 1 при любом а > 0.
П р и м е р 2. = 0 (здесь - любое действительное число, , )