- •Множества и действия над ними.
- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
- •Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- •Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
- •Число e.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках.
- •Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
- •Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
- •Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности.
- •Критерий Коши существования предела функции.
- •Локальные свойства функций имеющих предел.
- •Теорема о пределе суперпозиции.
- •Односторонние пределы.
- •Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •Замечательные пределы
- •Асимптоты графика функции
- •Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела.
- •Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры
- •Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях.
- •Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции к непрерывной и строго монотонной функции.
- •Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.
- •Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
- •Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
- •Дифференцирование сложной функции.
- •Дифференцирование обратной функции.
- •Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.
- •Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Формула Тейлора для многочлена.
- •Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
- •Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- •Правило Лопиталя.
- •Условия монотонности функции.
- •Условия экстремума функции.
- •Условия выпуклости функции.
- •Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция является выпуклой. Выберем произвольно , , и покажем, что (9)
- •Точки перегиба графика функции.
- •Множество вещественных чисел (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (абсолютная величина вещественного числа) и его свойства.
- •Комплексные числа.
Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.
nо 1. Таблица производных
Элементарные функции (за исключением функций и ) дифференцируемы в своих областях определения, причем справедливы следующие формулы (они обосновываются в следующих пунктах):
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
nо 2. Показательная и логарифмическая функции.
Здесь будут установлены формулы , , и из предыдущего пункта. Прежде всего, напомним, что (1) и (2)
Теперь используя равенство (2) и то, что постоянную можно выносить за знак предела получим: = . Таким образом установлена формула .
Далее, так как функция является обратной к функции , по формуле для производной обратной функции имеем: = . Следовательно, установлена и формула .
Для вывода формулы установим формулу дифференцирования показательно-степенной функции где и – дифференцируемые на некотором промежутке функции, причем на .
Используя формулу для производной сложной функции, формулы и , а также формулу для производной произведения функций будем иметь
Таким образом, .
В частности, если здесь , а , то , т.е. установлена и формула .
Формула вытекает из формулы 20 в силу формулы дифференцирования обратной функции: (здесь , ).
nо 3. Производная степенной функции.
Предварительно представив степенную функцию ( ) в виде ее производную вычислим с помощью формулы дифференцирования сложной функции: Формула , таким образом, также доказана.
nо 4. Тригонометрические функции.
Используя формулу , а также известный замечательный предел , по определению производной с учетом непрерывности функции будем иметь
Далее, по правилу дифференцирования сложной функции получим
Производные от функции и вычисляются с использованием установленных выше формул и и формул дифференцирования частного. Читателю предлагается сделать это самостоятельно.
nо 5. Обратные тригонометрические функции.
Формулы выводятся с помощью формулы для производной обратной функции и одной из соответствующих .
Например, функция является обратной к функции , ( ). Поэтому .(Перед радикалом здесь берется знак «+», поскольку при ). Аналогично вычисляется производная от функции .
Далее, функция является обратной к функции . Поэтому . Аналогично вычисляется производная от функции .
Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
Определение 1. Пусть функция определена на множестве и . Говорят, что в точке функция имеет локальный минимум (локальный максимум) , если существует такая окрестность этой точки, что ( ), (1) при этом точку называют точкой локального минимума (локального максимума) функции.
Замечание 1. Если внутренняя точка множества , т.е. если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью то в условии (1) вместо « » можно писать « », считая без ущерба для общности, что .
Замечание 2. Если в точке функция имеет или локальный минимум или локальный максимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум, при этом точку называют точкой локального экстремума.
Замечание 3. Всякая точка максимума (минимума) фуркции на множестве , т.е. всякая точка , для которой ; ( ), иногда называется точкой глобального минимума (глобального максимума) функции на множестве .
Очевидно, что всякая точка глобального экстремума, т.е. глобального максимума или глобального минимума, является также и точкой локального экстремума.
Теорема 1(Ферма). Пусть функция определена на множестве , - внутренняя точка множества и функция дифференцируема в этой точке .Тогда, если – точка локального экстремума этой функции, то (2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности будем считать , что ─ точка локального минимума . Тогда такое, что ( ─ внутренняя точка ) и .
Поэтому (3) . (4)
Из неравенства (3) , в силу дифференцируемости функции в точке и теоремы о предельном переходе в неравенстве, очевидно следует, что (5), а из неравенства (4) , в силу того же, в свою очередь, следует , что (6). Из неравенств (5) и (6) и вытекает равенство (2) □