Обработка результатов косвенных измерений

Как уже отмечалось, при косвенных измерениях искомая величина связана с рядом независимых величин X₁, X₂, … X_m, которые измеряются прямым способом, функциональной зависимостью

Y = F (X₁, X₂, … X_m).

Задача определения доверительного интервала и соответствующей доверительной вероятности для результатов косвенных измерений очень сложна. Но в случае, когда можно ограничиться приближенной оценкой, следует:

1. Для результатов прямых измерений аргументов вычислить выборочные средние по результатам n опытов

2. и границы погрешности результатов измерений   с одинаковой надежностью

.

3. Вычислить выборочное среднее функции .

4. Вычислить границу погрешности результата

(9)

5. где – частная производная функции, вычисленная для Х_i = .

6. В случае, когда функциональная зависимость Y = F (X₁, X₂, … X_m) представляет собой функцию, удобную для логарифмирования, процедура вычислений упрощается, если сначала вычислить относительную погрешность

(10)

7. Запись окончательного результата )

Для получения приближённой оценки можно воспользоваться более упрощённым способом:

1. по результатам n прямых измерений аргументов X_i вычислить значения косвенных измерений Y₁, Y₂, … Y_m;

2. обработать полученные результаты как результаты прямых измерений

, , ;

3. записать окончательный результат ).

Пример расчёта погрешности косвенного измерения

Определить универсальную газовую постоянную по формуле

, (11)

где = кг/моль; = 1,3 кг/м³; Т = t + 273, К, t – температура, измеряемая с помощью термометра (цена деления 1^oС); Р = H · 133, Па, H – давление, измеряемое в мм рт. ст. (цена деления 1 мм). В результате измерения мы получили:

t = 58^oС, H = 919 мм рт. ст.,

тогда .

Формула (11) удобна для логарифмирования.

Прямым способ измерены давление Р и температура Т. Рабочую формулу для вычисления относительной погрешности получаем согласно (10):

.

Абсолютные погрешности и определяем в данном случае как погрешность, связанную с округлением по шкале прибора (5б). При доверительной вероятности = 0,95 и наименьшей ошибке снятия отсчета b = 0,5 получаем:

мм рт. ст.; K.

Вычислим , тогда

Дж/моль·К.

Запишем окончательный результат R = (8,24  0,07) Дж/моль·К  ( = 0,95).

Лабораторная работа № 1

Исследование центрального удара шаров

Цель работы – исследование центрального удара двух шаров; определение коэффициента восстановления для стали; исследование зависимости времени соударения от относительной скорости шаров.

Приборы и принадлежности: экспериментальная установка для исследования столкновений шаров; стальные шары; секундомер (рабочая погрешность измерения времени 1 мкс).

Описание установки и метода изучения процесса

Ударом называется совокупность явлений, возникающих при столкновении движущихся твёрдых тел. Промежуток времени, в течение которого длится удар, обычно очень мал (на практике от с до с).

Процесс удара обычно разделяют на две фазы. Первая фаза – с момента соприкосновения тел до момента, когда относительная скорость центра масс тел становится равной нулю. При этом происходит превращение кинетической энергии в потенциальную энергию упругой деформации. Во второй фазе происходит частичное или полное восстановление формы тел. Относительная скорость тел возрастает по абсолютной величине; наконец, тела расходятся, и удар заканчивается. Во второй фазе происходит обратный переход потенциальной энергии упругой деформации в кинетическую энергию шаров. У реальных тел скорость после удара не достигает первоначального значения до удара, так как часть кинетической энергии тел переходит в тепловую энергию, в энергию остаточной деформации и другие виды энергии.

Мы ограничимся рассмотрением центрального удара шаров. Удар называется центральным, если шары движутся вдоль прямой, соединяющей их центры. Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий.

В работе исследуется удар стальных шаров, поэтому перейдём к рассмотрению абсолютно упругого и неупругого ударов.

Абсолютно упругий удар. При абсолютно упругом ударе механическая энергия не переходит в другие виды энергии. В первой фазе удара кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию упругой деформации; во второй – энергия упругой деформации переходит в кинетическую энергию шаров. При этом выполняется закон сохранения механической энергии W = K + П = const. Скорости шаров после абсолютно упругого удара можно найти из законов сохранения импульса и энергии :

(1.1)

, (1.2)

где и , и – скорости шаров до и после удара; и – массы шаров.

Перепишем уравнения (1.1) и (1.2) в виде:

, (1.3)

(1.4)

Из уравнения (1.4) следует, что

(1.5)

Так как при ударе скорости шаров изменяются ( , ), то из сопоставления формул (1.3) и (1.5) следует, что

(1.6)

Умножив равенство (1.6) на и вычтя результат из уравнения (1.3), затем умножив уравнение (1.6) на и сложив результат с (1.3), получим скорости тел после удара:

(1.7)

(1.8)

Если , то , а , т.е. шары одинаковой массы при соударении обмениваются скоростями. Из формулы (1.6) видно, что , т.е. при абсолютно упругом ударе модуль относительной скорости шаров до и после удара одинаков.

Неупругий удар. При ударе реальных тел механическая энергия к концу удара восстанавливается лишь частично вследствие потерь на нагревание тел, на сохранение остаточных деформаций, излучение звуковых волн и т.д. Кинетическая энергия К системы из двух тел может быть представлена следующим образом:

, (1.9)

где – скорость центра инерции системы, которая не изменяется при ударе, так как система замкнутая. При ударе может уменьшиться значение только второго слагаемого в формуле (1.9). Таким образом, потеря кинетической энергии при неупругом ударе приводит к уменьшению относительной скорости шаров < .

Для учёта потерь механической энергии при неупругом ударе удобно ввести коэффициент восстановления

, (1.10)

где k – интегральная характеристика физических свойств соударяющихся тел (его значение определяется экспериментально). Например, при соударении тел из дерева ; из слоновой кости – . В предельных случаях при абсолютно неупругом ударе (скорости тел после удара одинаковы), а при абсолютно упругом ударе .

При неупругом ударе (0 < k < 1) скорости шаров после удара можно найти из закона сохранения импульса и уравнения (1.10):

(1.11)

(1.12)

Решив систему уравнений (1.11) и (1.12), получим:

(1.13)

Потерянная за время удара кинетическая энергия системы вычисляется по формуле:

.

Если одно из тел до удара неподвижно ( ), то

, (1.14)

где – кинетические энергии системы до и после удара соответственно.