Последовательность операций при вычислении погрешности результатов прямых измерений

Пусть в процессе измерений величины Х получено n значений. При этом следует помнить, что для того, чтобы гарантировать степень надёжности полученного результата, необходимо правильно выбрать число измерений n. Верхнего предела для n установить, конечно, нельзя. Наблюдения должны повторяться до тех пор, пока характер разброса не будет полностью выяснен. Минимально допустимое значение числа наблюдений принимается n = 4.

Для вычисления границы погрешности результата прямого измерения необходимо выполнить следующие операции:

1. Исключить известные систематические погрешности из результатов измерений.

2. Вычислить среднее арифметическое результатов наблюдений, которое и принимается за «истинное» значение измеряемой величины:

. (1)

Можно применить другой, более универсальный способ нахождения среднего значения случайной величины:

, (1а)

где n_i – число измерений, давших результат X_i. Формула (1а) представляет собой общую формулу вычисления средней величины дискретно распределённых значений. При этом n_i часто называют «весовым множителем», а саму сумму в (1а) «взвешенной суммой».

Более удобной, чем (1) и (1а), в практическом смысле является эквивалентная ей формула (1б)

, (1б)

где X₀ – в принципе, любое число. Удобно выбрать его равным определённому «на глаз» среднему из всех участвующих в (1а) значений X_i.

3. В серии результатов измерений исключить промах.

Например: пусть в эксперименте были получены следующие результаты измерения промежутка времени электронным секундомером для некоторого исследуемого события:

i	, мс
1 2 3 4 5 6	153,4 154,6 154,7 155,0 164,3 154,5

Среди этой серии измерений пятое (i = 5) резко выделяется. Проверим, не является ли это значение промахом. В упрощённом варианте для учебных целей предлагается следующее правило для оценки промаха. Измерение можно отбросить, если его отклонение от среднего не менее чем в 2,5 раза превосходит среднюю абсолютную погрешность по разбросу r

. (2)

В нашем примере , тогда частное

,

и X₅ = 164,3 мс является промахом, это измерение нужно исключить из серии наблюдений.

Теперь таблица примет вид:

i	, мс	, мс	, мс2
1 2 3 4 5	153,4 154,6 154,7 155,0 154,5	1,04 0,16 0,26 0,56 0,06	1,08 0,03 0,07 0,31 0,00
			= 1,55

4. Вычислить среднее квадратичное отклонение результата измерения по формуле:

, (3)

= 0,27.

5. При числе измерений n < 15 распределение является нормальным. Проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению при n >50 следует по ГОСТ 8.207-76 (п. 3.1.1), если 50 > n > 15 также по ГОСТ 8.207-76 (п. 3.1.2).

6. Вычислить доверительные границы случайной погрешности результатов измерения

(4)

где – коэффициент Стьюдента в зависимости от надёжности и числа измерений (см. табл. П.1 приложения);

(мс).

Без учёта систематических погрешностей окончательный результат проведённых измерений в рассматриваемом примере можно записать так:

X = (154,4 0,8 ), мс ( = 0,95).

7. Вычислить границы неисключённой систематической погрешности результата измерения:

а) погрешность, связанная с классом точности прибора

, (5а)

где D – диапазон шкалы; k – класс точности прибора (в %);

б) погрешность, связанная с округлением отсчёта по шкале прибора

(5б)

где a – доверительная вероятность, с – цена деления шкалы прибора; b – доля цены деления, выбирается b = 0,1 0,5. Обычно, в целях упрощения, принимается a = 1.

в) погрешность, связанная с округлением численного результата.

Пример:

l = 785,87 м	l = 785,9 м	= 0,05 м
U = 324,12 B	U = 324,1 B	= 0,05 В
I = 12,545 A	I = 12,54 A	= 0,005 А

Границу неисключённой систематической погрешности находим по формуле:

, (5в)

где К₀ = 1,1 при = 0,95.

8. Сравнить и

Таблица 1

Если	Если	Если
9. ; α = 0,95.	9. ; α = 0,95.	9. Вычислить суммарное квадратичное отклонение результата измерения (6)
10. Записать окончательный результат (α = )		10. Вычислить эмпирический коэффициент (7)
		11. Вычислить абсолютную погрешность (8)
		12. Записать окончательный результат )