Контрольные вопросы

1. Дать определение момента силы относительно точки и относительно оси.

2. Дать определение момента импульса материальной точки относительно точки и относительно оси.

3. Чему равен момент импульса твердого тела относительно оси?

4. Каков физический смысл момента инерции? Как вычислить момент инерции твердого тела?

5. Провести аналогию между характеристиками поступательного и вращательного движения.

6. Указать на чертеже направление момента силы натяжения нити, действующей на шкив в данной работе.

Литература: [1, § 27, 31, 32]; [2, § 30, 33, 36]; [4, §4.1-4.3]; [5].

Лабораторная работа №5

Определение скорости монтажного патрона с помощью баллистического крутильного маятника

Цель работы − изучение законов сохранения на примере баллистического крутильного маятника.

Приборы и принадлежности: баллистический крутильный маятник, пусковое пружинное устройство и комплект монтажных патронов, блок миллисекундомера.

Краткие сведения из теории

Крутильный маятник представляет собой массивный стержень, жестко прикрепленный к вертикальной проволоке. На стержне имеются два неподвижных (на концах) и два подвижных груза. На один из неподвижных грузов нанесён слой пластилина. Подвижные грузы могут перемещаться вдоль стержня. Это дает возможность менять момент инерции маятника.

Крутильные колебания обусловлены упругими силами, возникающими в проволоке при ее кручении. При этом период колебаний маятника

(5.1)

Рис. 5.1

где I – момент инерции маятника относительно оси z (рис.5.1), k – крутильная жесткость проволоки. По теории упругой деформации твердого тела для однородной проволоки длиной  l круглого сечения радиуса R крутильная жёсткость определяется соотношением , G – модуль сдвига материала проволоки. После попадания монтажного патрона в один из неподвижных грузов маятника, последний вместе с патроном начинает вращаться вокруг вертикальной оси z. При этом момент кручения проволоки определяется, как , а потенциальная энергия упруго деформированной проволоки

, (5.2)

где − угол поворота маятника.

Удар патрона о маятник в данном случае является неупругим (так как патрон прилипает к пластилиновому слою). В этом случае механическая энергия в процессе удара не сохраняется. Однако если рассматривать систему маятник-пуля после удара, то можно говорить о законе сохранения механической энергии, т.е. при колебании маятника кинетическая энергия вращательного движения системы превращается в потенциальную энергию (5.2) упруго деформированной проволоки при кручении:

, (5.3)

где I − момент инерции маятника вместе с попавшим в него патроном относительно z (рис. 5.1), − угловая скорость маятника. Так как момент инерции патрона относительно оси z много меньше момента инерции самого маятника, то в расчётах его величиной можно пренебречь.

Для определения угловой скорости, приобретенной системой в результате удара патрона, воспользуемся законом сохранения момента импульса. Данный закон относительно неподвижной оси справедлив в тех случаях, когда сумма моментов внешних сил относительно этой оси равна нулю, что мы и наблюдаем при вращении системы относительно оси z: проекция момента силы тяжести на ось z равна нулю. Следовательно, момент импульса системы патрон-маятник относительно этой оси сохраняется, т.е. mvr = I (здесь т – масса патрона, v – скорость патрона).

Решая последнее уравнение совместно с (5.3), получим

.

Из формулы (5.1) найдем коэффициент крутильной жесткости , тогда

. (5.4)

Таким образом, измеряя угол поворота маятника и период его колебаний T, можно вычислить скорость патрона. Остаётся, однако, неизвестным момент инерции маятника, исключим эту величину, используя особенности конструкции маятника. При перемещении подвижных грузов по стержню маятника можно изменять его момент инерции. Рассмотрим два случая расположения грузов: на расстоянии r₁ и r₂ от оси вращения, им будут соответствовать моменты инерции вращения маятника – I₁ и I₂ соответственно. Если подвижные грузы максимально удалить друг от друга, то, применяя теорему Штейнера, момент инерции маятника относительно оси z примет вид

, (5.5)

а его период колебаний T₁ = 2 , где I₀ – момент инерции маятника без подвижных грузов. Если грузы разместить вплотную, то соответствующий момент инерции запишется аналогично

, (5.6)

При этом период колебаний T₂ = 2 .

Рассмотрев разность (5.5) и (5.6) I₁ – I₂ = 2М(r₁² – r₂²), а также равенство отношений Т₁²/T₂² =I₁/I₂, найдём выражение для нахождения I₁

(5.7)

Подставляя (5.7) в (5.4), получаем скорость монтажного патрона

(5.8)

где – максимальный угол отклонения, когда оба груза расположены на расстоянии , выраженный в радианах.