Обработка экспериментальных данных

1. По формуле (8.8) вычислить коэффициент крутильной жесткости k.

2. По данным таблицы 8.1 для каждого измерения вычислить период колебаний и момент инерции рамки по формуле (8.6).

3. Усреднить значения . Оценить погрешность определения по разбросу значений и записать окончательный результат.

4. По данным таблицы 8.2 вычислить периоды колебаний относительно различных осей.

5. Вычислить по формуле (8.7) моменты инерции образца I_i относительно осей x, y, z и AB. Для каждой из осей усреднить полученные значения I_i, оценить погрешность по разбросу значений и записать окончательный результат.

6. Провести оценочные расчёты моментов инерции I_i выбранного образца (параллелепипеда) без учёта скоса вершин относительно осей x, y, z и AB по формулам (8.1 – 8.4). При расчетах использовать следующие данные:

7. Сравнить результаты п. 4 с опытными данными (результатами п. 3).

Контрольные вопросы

1. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.

2. Что называется моментом инерции твёрдого тела?

3. Выведите формулу для момента инерции однородного прямоугольного параллелепипеда относительно оси x (рис. 8.3).

4. Сформулируйте теорему Штейнера.

Литература: [1, § 13, 27, 28, 31, 32]; [2, § 33-36, 46, 79]; [4, § 4.1-4.3 ]; [5].

Лабораторная работа №9

Определение модуля кручения нити и момента инерции системы, совершающей крутильные колебания

Цель работы – определение момента инерции крутильного маятника и модуля кручения нити по результатам исследования неупругого соударения математического и крутильного маятников.

Приборы и принадлежности: крутильный маятник, математический маятник, секундомер.

Краткие сведения из теории

Крутильным маятником называется твёрдое тело, подвешенное на упругой нити, которое может совершать колебания вращательного характера под воздействием момента упругих сил, возникающих в нити.

В работе используется маятник с большим периодом собственных колебаний T₀.

Предположим, что под кратковременным воздействием внешней силы (t_действ<< T₀) маятник выведен из положения равновесия. Нить, на которой подвешен маятник, закрутится. Пи этом возникнет момент упругих сил, возвращающих маятник в начальное положение:

М_кр= – kj, (9.1)

где j – угол закручивания нити; k – модуль кручения нити, численно равный величине крутящего момента относительно оси вращения, приходящегося на единичный угол закручивания (в литературе можно встретить другое название этой величины – крутильная жесткость нити). Знак « – » говорит о том, что направление крутящегося момента сил упругости противоположно направлению угла закручивания.

Тогда уравнение вращательного движения маятника относительно неподвижной оси ОО₁ (рис 9.2) с учётом (9.1) можно записать

, (9.2)

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения; – угловое ускорение вращательного движения относительно оси вращения; Уравнение (9.2) справедливо для углов < 30°, когда .

Если обозначить

=k/I, (9.3)

то уравнение движения крутильного маятника (9.2) можно переписать так: . Решение данного дифференциального уравнения ищем в виде , где – амплитудное значение угла закручивания; a – начальная фаза колебаний, – циклическая частота собственных колебаний маятника.

Циклическая частота связана с периодом свободных колебаний маятника формулой , тогда с учётом (9.3) модуль кручения нити можно выразить

(9.4)

Принимая во внимание, что угловая скорость вращательного движения , получаем . Очевидно, что максимальное значение угловой скорости вращения маятника равно

. (9.5)

В качестве тела, воздействующего на исследуемый крутильный маятник, можно использовать математический маятник – массивный шарик, подвешенный на лёгком, нерастяжимом стержне длиной l (при этом r_ш<<l, m_ш>> m_{подвеса}).

Математический маятник совершает колебания в вертикальной плоскости под действием возвращающей силы F= mgsinβ₀ (рис.9.1).

Рис. 9.1

Если маятник отклонить от положения равновесия на угол β₀ (или поднять на высоту h), то скорость шарика в нижней точке траектории можно оценить по закону сохранения энергии mgh = m . С учётом h = l – lcosβ₀ = l(1 – cosβ₀) = 2lsin²β₀/2 (рис.9.1) получаем

(9.6)

Исследуемый крутильный маятник представляет собой два металлических стержня, сцеплённых между собой так, чтобы угол между ними был равен 90° (рис.9.2). На концах горизонтального стержня укреплены два диска, расположенные в вертикальной плоскости. Выведенный из положения равновесия шарик ударяется о диск Д₂, приводя крутильный маятник в колебание. После соударения о диск скорость шарика становится равна

(9.7)

где - угол отклонения математического маятника после удара.

Для системы «крутильный маятник – математический маятник» применим закон сохранения момента импульса относительно неподвижной оси ОО₁.

До удара момент импульса системы равен моменту импульса математического маятника относительно оси вращения ОО₁ L₀=mv₀r, где r – расстояние от оси крутильного маятника до точки удара шарика о диск; v₀ – скорость шарика перед ударом; m – масса шарика.

После соударения момента импульса шарика относительно оси L = – mv_к r , где v_к – скорость шарика после удара. Момент импульса крутильного маятника относительно оси сразу после соударения, с учетом (9.5) равен:

L_кр = Iw_max = I ,

Таким образом, закон сохранения момента импульса системы запишется:

mv₀r = – mv_к r + I .

Найдем из этого равенства момент инерции крутильного маятника:

I=

Подставив в это выражение (9.6) и (9.7), получим:

(9.8)

Это соотношение является рабочим для расчёта момента инерции крутильного маятника. (При расчётах выразить в радианах).

Масса шарика m, длина подвеса l и расстояние r от оси крутильного шарика до точки соприкосновения с шариком при ударе указаны на установке.