Метод измерений. Вывод рабочей формулы

Д

Рис. 15.1

ля определения момента инерции тел используется крутильный маятник (рис. 8.4), основным элементом которого является рамка (1), снабженная флажком (2) и подвешенная с помощью двух вертикально закреплённых проволок (3).

Рис. 8.4

Крутильные колебания представляют собой один из видов колебаний упругих систем, при которых отдельные элементы системы (в данном случае – проволока) испытывают деформацию кручения.

Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела с моментом инерции I относительно фиксированной оси под действием момента упругих сил М можно записать в виде Iε_z = M_z, где M_z = – kφ, φ – угол поворота маятника, k – коэффициент крутильной жёсткости проволоки (другое название этой величины – модуль кручения).

Учитывая, что получаем уравнение или

Это уравнение гармонических колебаний с периодом

Следовательно, определив экспериментально период колебаний Т, можно найти момент инерции по формуле

В настоящей работе определяется момент инерции рамки крутильного маятника по формуле

где T₀ – период колебаний рамки.

Также в работе определяется момент инерции I_i относительно разных осей твёрдого тела, закреплённого в рамке крутильного маятника.

Суммарный момент инерции рамки и закрепленного тела равен Соответственно, период крутильных колебаний системы относительно i-й оси равен Тогда, измерив период , можно рассчитать момент инерции тела относительно i –ой оси по формуле

Согласно теории упругих деформаций для проволоки круглого сечения радиуса R и длины L коэффициент крутильной жесткости равен где G – модуль сдвига материала.

Для крутильного маятника с двумя проволоками, используемого в работе, имеем

где и – длины первой и второй проволок (значения указаны на установке), R – радиус проволок (значение указано на установке), G = Н/м² – модуль сдвига для стали.

Порядок выполнения работы

1. Нажав кнопку «Сеть», включить установку. На лицевой панели миллисекундомера должны светиться цифровые индикаторы. Флажок рамки (позиция 2 на рис. 8.4) должен пересекать оптическую ось фотодатчика.

2. Измерить время n = 10 колебаний рамки. Для этого отклонить рамку рукой на угол 4⁰ – 5⁰ и отпустить. Нажать кнопку «СБРОС». Дождаться появления на циферблате секундомера цифры «9» и нажать клавишу «СТОП». Секундомер остановится, отсчитав время десяти колебаний. Записать измеренное время в таблицу 8.1.

3. Повторить п. 2 пять раз.

Таблица 8.1

R = ….. м l1 = …… м l2 = ….. м
№	t0, c	n	T0, c	I0, кг∙м2
1
2
3
4
5

4. Отключить прибор.

5. Установить в рамку маятника образец (параллелепипед). Для этого отвинтить гайки цанговых зажимов на подвижной рамке, приподнять планку и  осторожно вставить образец так, чтобы острия рамки входили в углубления на образце по нужной оси (x, y, z или АB (рис.8.3)).

6. В

   Рис.15.2

   ыполнить п.п. 2-3 для всех указанных осей (x, y, z, АB (рис.8.3)). Результаты занести в таблицу 8.2.

Таблица 8.2

ось z
№	ti, c	n	Ti, c	Ii, кг∙м2
1
2
3
4
5
ось x
№	ti, c	n	Ti, c	Ii, кг∙м2
1
2
3
4
5
ось y
№	ti, c	n	Ti, c	Ii, кг∙м2
1
2
3
4
5
ось AB
№	ti, c	n	Ti, c	Ii, кг∙м2
1
2
3
4
5