Контрольные вопросы

1. Дать определение момента импульса твёрдого тела относительно точки и относительно неподвижной оси.

2. Дать определение момента инерции твёрдого тела относительно неподвижной оси.

3. Сформулировать уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.

4. Сформулировать закон сохранения момента импульса и закон сохранения энергии.

5. Сформулировать теорему Штейнера

Литература: [1, § 27, 31, 32]; [2, § 30, 33, 36]; [4, § 4.1-4.3 ]; [5].

Лабораторная работа № 6

Определение ускорения свободного падения при помощи математического и оборотного маятников

Цель работы – определение ускорения свободного падения для широты Санкт-Петербурга с помощью математического и оборотного маятников.

Приборы и принадлежности: универсальный маятник, фотоэлектрический датчик, универсальный секундомер (рабочая погрешность измерения времени не более 0,02%).

Краткие сведения из теории

Рис. 6.1

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l. Рассмотрим свободные колебания математического маятника. Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом , образованным нитью с вертикалью (рис. 6.1).

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось , касательную к траектории в данной точке и направленную в сторону возрастания угла . Учитывая, что имеем

Для малых колебаний можно принять . Тогда уравнение (6.1) примет вид

Уравнение (6.2) – уравнение гармонического осциллятора. Решением уравнения (6.2) является функция где - амплитуда колебаний, - начальная фаза, - циклическая частота. Из (6.2) следует, что циклическая частота и период малых колебаний математического маятника равны, соответственно,

Физическим маятником называется твердое тело, которое может совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси. Рассмотрим свободные незатухающие колебания физического маятника под действием силы тяжести (рис. 6.2).

Рис. 6. 2.

Выберем положительное направление отсчета угла против часовой стрелке (ось z направлена на нас). Тогда проекция момента силы тяжести на ось z равна , где L - расстояние от точки подвеса до центра масс тела, и уравнение динамики вращательного движения твердого тела примет вид

где I - момент инерции маятника относительно оси вращения.

При малых углах отклонения маятника от вертикали можно считать . Тогда уравнение движения (6.5) примет вид

Следовательно, физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой

и периодом

Из сопоставления формул (6.4) и (6.8) следует, что математический маятник с длиной имеет такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Величину называют приведённой длиной физического маятника.

Описание метода измерения. Рабочие формулы.

Определив экспериментально период колебаний математического маятника, можно рассчитать ускорение свободного падения на данной географической широте.

Из формулы (6.4) получим

где l – длина математического маятника, Т – период колебаний математического маятника.

Для физического маятника вводят понятие центра качаний. Отложим от точки подвеса О вдоль прямой ОС (С – центр масс маятника) отрезок ОК, длина которого равна приведенной длине физического маятника. Точка К называется центром качания (рис. 6.3).

Рис. 6.3

Центр качания можно определить как математическую точку, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы период его колебаний остался без изменений.

Точка подвеса О и центр качаний К являются взаимными или сопряженными точками в том смысле, что, если маятник подвесить за центр качания К, то его период не изменится, и прежняя точка подвеса О сделается новым центром качания.

На этом свойстве основано определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника. Существуют разнообразные конструкции оборотного маятника. В данной работе используется маятник, состоящий из стержня, на котором закреплены две параллельные друг другу опорные призмы (ножи), и двух роликов, один из которых может перемещаться вдоль стержня. Перемещением подвижного ролика добиваются того, чтобы при подвешивании маятника за любой из ножей период колебаний был одинаков. Тогда расстояние между ножами будет равно приведенной длине маятника . Измерив период колебаний маятника Т и расстояние между ножами , можно по формуле

определить ускорение свободного падения.