14.14. Пинч - эффект.

Рассмотрим простой пример равновесной конфигурации цилиндрического "столба" плазмы благодаря пинч - эффекту (сжатие плазмы магнитным полем, наводимым протекающим в плазме током).

Предлагается следующая идеализация постановки задачи. Считается, что плазма сосредоточена внутри бесконечного цилиндра. Радиус этого цилиндра . Ось этого цилиндра ориентирована вдоль координаты - цилиндрические координаты). Пусть распределение поля таково, что зависимость от переменных и отсутствует. Влиянием силы тяжести пренебрежем . Будем считать, что вне этого цилиндра – вакуум, здесь имеется электромагнитное поле и отсутствует газовое давление . Прежде чем решать уравнения статики, докажем отсутствие радиальных компонент у векторов :

. (10)

С этой целью используем уравнение :

, (11)

где - цилиндрический объем и поверхность, окружающая его. Ось цилиндра ориентирована вдоль , высота цилиндра имеет конечный размер . - компонента вектора , ортогональная поверхности .

Так как поле не зависит от , то интегралы по "торцевым" поверхностям компенсируют друг друга и остается в (11) интеграл только по боковой поверхности цилиндра (на этой поверхности ).

,и значит (12)

при любых значениях . В статике , и в (11) и (12) можно сделать замену при любых значениях . Таким образом, соотношения (10) доказаны.

На основе уравнения ,

при , имеем .

,

и значит, . (13)

Из требования конечности при , получим . (14)

Из уравнения

получим представления: . (15)

. (16)

При получении (16) было учтено, что - конечно при . Из условия непрерывности компоненты при получим представление

.

Определим распределение давления . Используем уравнение движения при

, и значит, (17)

Постоянная интегрирования в (17) выбрана таким образом, чтобы . Так как при расположен вакуум, то . Сила приводит к пинч-эффекту, так как эта сила компенсирует силу газового давления. Создается равновесная статическая конфигурация в плазме.

Исследуем характер электромагнитного поля вне плазмы при . Так как здесь нет носителей электрических зарядов, то .

На основе уравнения

напишем соотношение , (18)

где - поверхность в виде круга радиуса , причем ось ортогональна и центр круга совпадает с точкой . - часть поверхности , находящейся внутри "столба" плазмы. В правой части (18) учтено, что при . Интеграл в левой части (18) сводится к интегралу по окружности радиуса . (19)

и на основе (18), (19) получим: . (20)

Распределение полей в плазме и в окружающем ее вакууме найдено.

Стационарное движение плазмы. Теорема Ферраро об изоротации. Как отмечалось выше, под стационарными процессами мы здесь будем понимать движение плазмы при выполнении условий: . Такая ситуация описывается системой уравнений

Исследуем распределение полей для одной из простейших задач.

Теорема Ферраро. Ограничимся следующей идеализацией:

где - цилиндрические координаты. Система уравнений для полей имеет вид:

или: (25)

Система уравнений (25)приводится к виду: , (26)

где введено обозначение - угловая скорость. Уравнение (26) - это требование ортогональности векторов и : . (27)

Введем ортогональную систему координат, связанную с вектором : .

Уравнение (27) можно представить в виде - угловая скорость не зависит от координаты, отсчитываемой вдоль вектора (изоротация Ферраро). Этот эффект приближенно описывает движение плазмы в астрофизических объектах.

15. Электродинамика газового разряда.

15.1. Процессы, изучаемые в электродинамике газового разряда. При достаточно высоком напряжении электрического поля, в газе происходит ионизация нейтральных частиц. Нейтральная газовая среда становится проводником электрического поля. Это явление называется электрическим пробоем, оно сопровождается свечением (зажигание разряда). В быстропеременных электрических полях и в полях электромагнитных излучений для протекания тока не требуется существования замкнутой цепи. Не требуются так же электроды. Диссипация энергии при этом интерпретируется как поглощение излучения. В случае постоянного или низкочастотного электрических полей диссипация энергии трактуется как выделение джоулева тепла током.

Электродинамика газового разряда изучает процессы, связанные с протеканием электрического тока в газах, с возникновением под действием поля способности проводить ток и поглощать электромагнитные излучения, изучает вопросы поведения ионизированных газов в электромагнитных полях и взаимодействия их с этими полями. Содержание электродинамики газового разряда перекрывается с процессами, изучаемыми электродинамикой плазмы, однако, электродинамика газового разряда в основном имеет дело с низкотемпературной плазмой, умеренной или большой плотности.

15.2. Типы разрядов в постоянном электрическом поле. Простейшим устройством для изучения газового разряда является стеклянная газоразрядная трубка, имеющая два электрода и источник постоянного напряжения. В этой трубке желательно иметь возможность менять давление и варьировать состав газовой среды. Длина трубки берется порядка единиц или десятков сантиметров, а диаметр трубки составляет единицы сантиметров. Под действием постороннего ионизатора, накаливания катода и других посторонних причин возникает несамостоятельный разряд и ток. Увеличение электрического напряжения сначала приводит к возрастанию тока, затем к насыщению его и наконец при некотором определенном значении напряжения (оно зависит от рода и давления газа, расстояния между электродами, материала катода) ток резко возрастает и появляется свечение. Это происходит пробой. Начальная стадия пробоя обусловлена наличием затравочных электронов, но при достаточной величине напряжения, разряд становится самостоятельным, он поддерживается только электрическим полем. Происходит это благодаря лавинообразному «размножению» электронов в результате ионизации нейтральных частиц газа.

1. При небольшом давлении, например и большом сопротивлении внешней электрической цепи возникает тлеющий разряд. При напряжениях порядка сотни и тысячи вольт протекает ток величиной . Область, удаленная от электродов, называется положительным столбом. В этой области слабоионизированная плазма имеет степень ионизации порядка . Характерной чертой этой плазмы является большое различие температур электронов и ионов . Механизм электронной эмиссии с катода – вторичная эмиссия (электроны выбиваются из холодного металла ударами положительных ионов или световыми квантами.)

2. Если давление газа высоко (порядка атмосферногого: ), а сопротивление внешней цепи мало, то после пробоя зажигается разряд другого типа - дуговой. Для дуги характерен сильный ток (более ампера),низкое напряжение (десятки вольт) и яркий столб. Столб дугового разряда – это плотная термодинамически равновесная плазма и степень ее ионизации . Электронная эмиссия происходит за счет термоэлектронного механизма («испарение » электронов с катода благодаря высокой температуре).

3. Искровой разряд возникает при давлениях порядка или выше атмосферного и не слишком малых расстояниях между электродами (больше сантиметра). Происходит короткое замыкание электродов искровым плазменным каналом. Грандиозным примером искрового разряда является молния.

4. Коронный разряд возникает в сильно неоднородных полях (например, разряд около заостренных электродов).

15.3. Классификация разрядов по различным признакам. Как уже отмечалось, установившиеся стационарные разряды разделяются на:

А) несамостоятельные и Б) самостоятельные.

Последними будем заниматься ниже.

Различие по катодному процессу в стационарных и в квазистационарных разрядах постоянного тока:1) тлеющий, 2) дуговой, 3) темный таунсендовский разряд, 4) коронный разряд.

Быстротечный процесс: искровой разряд.

Классификация по другим признакам:

I) характер состояния ионизированного газа, который подвергается воздействию внешнего поля:

1.пробой газа, 2.поддержание полем неравновесной плазмы, 3.поддержание полем равновесной плазмы.

II) частотный диапазон поля:

1.Постоянные, низкочастотные и не слишком кратковременные импульсные поля. 2.высокочастотные поля (мегагерцовый диапазон, длины волн от метров до километров). 3.сверхвысокочастотные поля (СВЧ, гигагерцовый диапазон, длины волн от миллиметров до десятков сантиметров). 4.оптические (от далекого инфракрасного до жесткого ультрафиолетового), излучение лазеров.

Существует большое количество физических и технических применений газового разряда: ионизационная камера, фотоэлементы, счетчики с острием для измерения излучения, выпрямители (ртутные), преобразователи тока, источники света, сварочные дуги, предохранители и выключатели в электрических цепях.

15.4. Анодный ток. Нейтральные газы являются изоляторами. Если к ним приложить постоянное электрическое поле, то произойдет деформация и поворот нейтральных молекул. Поступательного перемещения молекул не будет, электрический ток не возникнет. Ситуация изменится при введении в газ посторонних (затравочных) заряженных частиц. Под действием электрического поля возникнет ток. В достаточно сильных полях будет происходить лавинообразная ионизация нейтральных молекул. Вместе с этим будет лавинообразно увеличиваться ток в газе – это и есть пример газового разряда.

1). Определим силу тока при движении отдельного заряда через газовый или вакуумный промежуток электрической цепи. На первый взгляд кажется, что мгновенный ток в цепи отсутствует во время движения заряда между электродами и импульс тока возникает в момент достижения зарядом электрода, когда частица передает свой заряд электроду. На самом деле это не так. Вследствие электростатической индукции на электродах наводятся заряды, и они перемещаются во внешней цепи во время движения заряда в междуэлектродном промежутке.

Если - электродвижущая сила (Э.Д.С.) внешнего источника, - тока в цепи, то работа, совершаемая этим источником за одну секунду равна . Такую же работу совершает заряд , движущийся в поле в вакууме со скоростью , если поле создается этим источником (в такой задаче можно считать поле заданным):

и сила тока имеет представление .

Для плоскопараллельных электродов задача упрощается, справедлива связь ( - расстояние между электродами) и сила тока дается соотношением.

2).Исследуем влияние постоянного электрического поля на температуру температуру электронной компоненты. Если в вакууме движется не одна, а много заряженных частиц, то электрическое поле уже нельзя считать заданным. На это поле оказывает влияние формируемый им объемный заряд. Возникает самосогласованная задача. В качестве примера исследуем процесс в вакуумном диоде с плоскими электродами – катодом и анодом. Пусть между этими электродами поддерживается постоянная разность потенциалов , и нагреваемый катод непрерывно испускает электроны. Ограничимся рассмотрением электростатического приближения, считая эмиссию электронов постоянной. Уравнение Пуассона имеет вид

,

где , - концентрация электронов. В невозмущенном состоянии . Из закона сохранения заряда в установившемся (статическом состоянии)

, , следует, что , .

Если пренебречь диссипацией, то будем иметь закон сохранения энергии ,

где - масса электрона.

Из законов сохранения получаем

и уравнение Пуассона принимает вид нелинейного дифференциального уравнения

. (15.1)

Левую часть (15.1) преобразуем ,

где , и уравнение (15.1) после интегрирования приводится к виду

,

где при ,. Будем считать, что на катоде выполнены условия . В случае будем иметь

, (15.2)

Из-за наличия объемного заряда в установившемся стационарном режиме потенциал между катодом и анодом изменяется с расстоянием пропорционально , а не , как было бы в случае вакуума. Соответственно напряженность поля изменяется по закону , а не остается постоянным, как в случае вакуума. Поле неоднородно и растет по направлению от катода к аноду.

Из закона сохранения энергии находится скорость электронов

Из закона сохранения заряда получаем распределение концентрации электронов .

Грубое предположение о равенстве нулю скорости электронов, вылетающих из раскаленного катода, приводит к тому, что в таком описании концентрация электронов на катоде равна бесконечности.

Из формулы (15.2) при найдем потенциал анода как функцию плотности тока и, следовательно, полного анодного тока ( - площадь анода). Формула (15.2) дает представление или . В результате получается нелинейный «закон трех вторых»: .

В случае сила тока оказывается меньше, чем при нулевом поле катода. Каков бы не был потенциал анода, плотность анодного тока не может превысит плотность тока эмиссии (этот ток называется током насыщения). Этим определяется верхняя граница анодного потенциала, для которого еще справедлив «закон трех вторых».