14.7. Условия применимости уравнений мгд.

1). Рассмотрение начнем с пренебрежения членом в уравнении Максвелла . Это можно делать при выполнении любого из неравенств:

, . (14.5)

Из закона Ома имеем представление и первое из неравенств дает ограничение на длительность временного масштаба изменения полей

. (14.6)

Из закона электромагнитной индукции Фарадея получим соотношение

, (14.7)

где - пространственный масштаб изменения полей. Второе из неравенств (14.5) приводится к виду

. (14.8).

При наличии волнового процесса, отношение величин и характеризует скорость перемещения возмущений (фазовую скорость ) и неравенство (14.8) принимает вид

.

Значит, приближение можно использовать при выполнении (14.6), либо (14.8).

Второе неравенство в (14.5) приводится к виду . Учитывая представление (14.7) приходим соотношению для плотностей электрической и магнитной энергий

.

2). При получении Закона Ома использовалось допущение об изотропности: - скалярная величина. Это допустимо при выполнении условия (обоснование этого условия приводить не будем)

,

где - частота соударений электронов с другими частицами. Дополнительно было использовано допущение о квазинейтральности плазмы .

В законе Ома имеет место локальная связь между и (эта связь алгебраическая, а не дифференциальная). Выясним когда справедливо такое локальное приближение. Напишем линеаризованное уравнение движения электронной компоненты с учетом перемещения ионной компоненты:

.

Здесь использовано приближение ( - скорость движения плазы как единой среды) для медленных процессов. Из этого уравнения движения можно получить закон Ома в алгебраической форме, если пренебречь инерционным членом при наличии ограничения .

При этом уравнение движения принимает вид ,

или ,

или , где .

3). Таким образом, условия применимости магнитной гидродинамики имеют вид

Следует отметить, что при использовании МГД приближения сделаны еще некоторые допущения. Отметим основные из них:

• Допущение о том, что плазма – единый «коллектив» (одна жидкость), а не многокомпонентная среда. Это приводит к пренебрежению некоторыми типами волн. Кроме того отсутствует возможность анализа неизотермической плазмы : .

• Пренебрежение потерями за счет вязкости и теплопроводности.

• Отсутствие учета роли нейтральной компоненты в ситуации частично ионизированной плазмы.

• Пренебрежение кинетическими эффектами.

14.8. Дисперсионные свойства, полярные диаграммы фазовых скоростей МГД волн. Рассмотрим вопрос о дисперсионных свойствах МГД волн малой амплитуды (линейное приближение) на основе системы уравнений

,

, .

Ограничимся сейчас случаем (пренебрежение влиянием омических потерь). При этом конечность величины обеспечивается при выполнении соотношения

.

Эта система уравнений приводится к одному уравнению для :

, (14.9)

где - скорость Альфвена, . Используем формулы для плоских монохроматических полей (для фурье – образов полей)

,

, ,

.

С учетом этих формул, уравнение(14.9) приводится к виду

(14.10)

Вращением системы координат вокруг оси добьемся того, чтобы вектор лежал в плоскости : , .

Проекции уравнения (14.10) на оси имеют вид

,

, .

Альфвеновская волна. Из последней системы уравнений следует, что волна, у которой вектор скорости направлен вдоль оси , т.е. перпендикулярен плоскости распространения (плоскости, содержащей векторы и ), такая волна распространяется независимо от волны с компонентами . Фазовая скорость этой альфвеновской волны имеет вид .

Фазовая скорость не зависит от скорости звука , т.е. фазовая скорость альфеновской волны одинакова для холодной и горячей плазмы. Это волна поперечная: . В ней не происходит возмущения плотности плазмы.

Быстрая и медленная магнитозвуковые волны. Условие существования ненулевых решений для волн с компонентами дает биквадратное дисперсионное уравнение

.

Это уравнение имеет два решения

.

Или .

Знаки относятся соответственно к быстрой и медленной магнитозвуковым волнам. Фазовые скорости этих волн зависят не только от угла , но и от скорости звука . В холодной плазме ( ) распространяется одна быстрая магнитозвуковая волна с фазовой скоростью . На Рис.14.1 показана угловая зависимость (полярная диаграмма) скоростей для случая .

В предельном случае существует только одна акустическая волна с фазовой скоростью . Такая ситуация соответствует описанию динамики нейтрального газа.

14.9. Групповые скорости МГД волн. Для одномерного процесса, когда плоская волна распространяется в заданном направлении , имеем

, .

В этом частном случае фазовая и групповая скорости МГД волн совпадают. В общем случае неодномерного процесса , фазовая и групповая скорости МГД волн в такой ситуации различаются.

1). Групповая скорость альфвеновской волны. Из формулы для фазовой скорости получим представление

.

Получаем представление для групповой скорости .

Групповая скорость имеет только одну составляющую вдоль вектора .

2). Групповые скорости магнитозвуковых волн удобнее находить следующим образом. Если известно дисперсионное уравнение для этих волн , то одновременно имеет место

и значит, имеет место представление .

Не трудно убедиться, что для магнитозвуковых волн дисперсионное уравнение можно привести к виду .

Для групповой скорости получается выражение

.

У векторов групповых скоростей имеются продольная и поперечная по отношению к внешнему магнитному полю составляющие. Поперечная составляющая имеет вид

.

Используя формулы для , можно убедиться, что для быстрой волны выполнено условие

,

а для медленной волны имеет место обратное неравенство .

Медленная волна обладает интересным свойством: поперечные составляющие групповой и фазовой скоростей имеют противоположные знаки.

14.10. Использование МГД эффектов для прикладных целей. МГД генератор. Имеется целый ряд технических и медицинских приложений магнитной гидродинамики. Отметим основные из них.

1). Движение проводящей среды поперек магнитного поля создает разность электрических потенциалов. Этот эффект используется для создания МГД генераторов электроэнергии. При этом реализуется прямой переход тепловой энергии в электрическую энергию.

2). МГД расходомеры и измерители скорости. Достоинством таких приборов является малая инерционность и отсутствие контакта с электропроводной средой (например, кровь и металлы в жидком состоянии).

3). МГД ракетные движители и движители морских судов. При движении плазмы в направлении, перпендикулярном электрическому и магнитному полям можно реализовать высокоскоростное и в частности сверхзвуковое дрейфовое движение.

4). МГД насосы без контакта подвижных механических частей прибора с жидкостью. Это большое преимущество при перекачивании радиоактивных, химически агрессивных расплавленных металлов.

Рассмотрим принцип действия МГД генератора (Рис.14.2). Если скорость плазмы в канале и существует поперечное постоянное внешнее магнитное поле , то в плазме создается ток ( - площадь электродов в области действия магнитного поля). Плотность тока описывается законом Ома ,

где . Индуцированное поле движет электроны вверх. Около верхней стенки канала накапливается отрицательный пространственный заряд. Если внешняя цепь разомкнута (сопротивление нагрузки ), то заряды накапливаются до тех пор, пока созданное ими электрическое поле не уничтожит индуцированное поле ( ). Разность потенциалов между электродами при этом дается соотношением ( - расстояние между электродами). Если цепь замкнуть и обеспечить достаточно высокую эмиссию электронов с нижнего электрода, то в цепи создастся ток. Этот ток и полезная мощность уменьшаются в результате возникновения холловского тока вдоль направления потока плазмы, который замыкается по электродам. Этот вредный эффект уменьшается секционированием электродов вдоль оси и замыканием каждой пары через индивидуальную нагрузку. В таком МГД генераторе происходит преобразование тепловой энергии, в электрическую энергию без использования твердых движущихся деталей. Благодаря этому снижается уровень механических напряжений. Поток горячего проводящего газа создается за счет сжигания горючего. Для увеличения электропроводности плазмы, в нее добавляются легко ионизируемые щелочные элементы. Недостаток МГД генераторов заключается в том, что для обеспечения необходимой степени термической ионизации нужны очень высокие температуры.