Электродинамика

Часть I. Основы электродинамики. Статические и квазистационарные процессы.

1. Основные понятия.

1.1. Электрические силы. Электрическому взаимодействию подвержены тела, обладающие электрическим зарядом. Такое взаимодействие может приводить и к притяжению и к отталкиванию. В природе существуют заряды двух знаков: положительные и отрицательные. Тела с одинаковым знаком зарядов отталкиваются, а тела с зарядами разных знаков - притягиваются. Математическое описание силы взаимодействия двух неподвижных заряженных точечных тел (размеры тел гораздо меньше расстояния между ними), находящихся в вакууме, дается законом Кулона

где - сила, действующая на заряд со стороны заряда , - единичный вектор, направленный от заряда к заряду , - расстояние между телами, - постоянная величина. Этот закон был независимо открыт Кэвендишем (1771-1779 г.) и Кулоном (1786-1789 г.). В гауссовой системе СГС , размерность заряда . В системе единиц СИ , - диэлектрическая проницаемость вакуума. Эквивалентное определение константы в системе СИ: , - скорость света в вакууме. Размерность заряда - эта величина представляет собой производную единицу – Кулон. В дальнейшем в курсе будет использоваться система единиц СИ.

Электрические силы взаимодействия между заряженными частицами намного больше гравитационных сил притяжения, хотя из-за общей электронейтральности большинства тел, эти силы часто оказываются меньше гравитационных. В плазме электронейтральность нарушается в малых объемах и в течении малых промежутков времени. В большом объеме электронейтральность сохраняется с высокой точностью. Заряд любого тела кратен заряду электрона или протона ( - целое число). Этот заряд имеет численное значение

Для описания воздействия электрических зарядов на данный заряд введем понятие электрического поля (напряженности электрического поля)

, (1.1)

Сила пропорциональна заряду не только в статической ситуации, но и в случае переменных во времени полях. Поэтому поле не зависит от величины . Поле определяется только воздействующими заряженными телами и местом положения заряда . Предполагается, что размеры заряженного тела и заряд его настолько малы, что внесение этого тела не искажает поля, в которое его внесли. Такой заряд называется пробным зарядом Определение (1.1) вводится не только в статике, но и в динамике, когда поле может зависеть не только от координат, но и от времени. Из такого определения следует, что для нахождения силы, действующей на неподвижный заряд (влияние движения обсуждается ниже) достаточно знать напряженность электрического поля:

Таким образом, электрическое поле порождается электрическим зарядом и электрическое поле воздействует на заряд. При этом такая связь существует всегда, независимо от того покоится или движется заряд. Существует еще одно поле – магнитная индукция , связанное с движением заряда со скоростью в вакууме. За счет движения возникает дополнительная сила

.

Следует отметить, что имеется некоторое терминологическое нарушение; называется полем, а называется индукцией. Векторная природа функций и различна. Если изменить направления всех трех координатных осей на противоположные, то вектор заменится на вектор - , а вектор не изменит своего направления. Вектор - это полярный вектор, а - это аксиальный вектор.

Поле магнитной индукции, в отличие от электрического поля, действует только на движущийся заряд. В электродинамике имеется еще понятие напряженности магнитного поля - оно будет разъяснено далее.

Одновременное действие электрического и магнитного полей на движущийся заряд в вакууме, создает суммарную силу (линейное сложение сил – линейная суперпозиция сил)

(1.2)

Эту силу называют силой Лоренца. Формула (1.2) применима не толь ко для статических полей, но и для полей динамических – зависящих не только от координат, но и от времени. В вакууме поля и удовлетворяют принципу линейной суперпозиции: общее поле совокупности зарядов есть сумма полей этих зарядов

, .

Отражением этого факта является линейность уравнений Максвелла в вакууме. Об этом подробнее будет сказано в разделе 2.

При построении электродинамики, как науки о взаимодействии заряженных тел, наиболее плодотворным оказалось введение полей и . Полученные Максвеллом уравнения, обобщили имеющийся экспериментальный материал по электромагнетизму и положили начало изучению нового класса явлений – распространению электромагнитных волн в сплошных средах (электродинамике диэлектриков, электродинамике плазмы…), кинетической теории плазмы, квантовой электродинамике.

2. Электрическое поле и поле магнитной индукции. Соотношениями (1.1) и (1.2) введены векторные поля и через силу , действующую на пробный заряд в данной точке пространства и в данный момент времени. Тем самым эти поля, как бы связывались с наличием пробного заряда. На самом деле векторы и являются количественной характеристикой объективно существующих полей – электрического и поля магнитной индукции, которые создаются расположенными в среде зарядами и токами (в случае вакуума заряды и токи могут быть только сторонними). Электрическое поле и поле магнитной индукции существуют и при отсутствии пробного заряда. Таким образом, с каждой точкой пространства в момент времени можно связать поля и . Если поместить в эту точку пробный заряд, движущийся со скоростью , то в момент времени на этот заряд подействовала бы сила

Нахождение распределения функций (полей) и по данному распределению движущихся в вакууме зарядов и токов составляет основную задачу электромагнитной теории для вакуума. В случае материальных сред ситуация существенно сложнее. Там имеются не только заряды и токи сторонних источников, но кроме них существуют еще заряды и токи самой среды. Последние зависят от полей и , и они сами влияют на эти поля. Возникает самосогласованная, в общем случае нелинейная задача, в которой отсутствует линейная суперпозиция полей. Отражением этого факта будет то, что замкнутая система уравнений Максвелла и уравнений материальной связи (в теории сплошной среды последние – это уравнения динамики) являются нелинейными.

Поля и можно изображать графически в виде силовых линий, в каждой точке которых соответствующий вектор касателен к силовой линии, а величина векторов и характеризует плотность распределения этих линий. Силовые линии поля всегда начинаются на положительных и кончаются на отрицательных зарядах или на бесконечности. Если в данной точке нет электрического заряда, то через эту точку проходит только одна силовая линия поля . Силовые линии пересекаются только в точках расположения зарядов.

1.3. Математические операции со скалярными и векторными полями. Формула Гаусса-Остроградского. Формула Стокса. Кратко напомним основные соотношения дифференциальной геометрии для векторных и скалярных функций. В декартовой системе координат орты обозначим , тогда произвольный вектор представляется в виде

,

где - соответствующая компонента вектора .

Скалярное произведение двух векторов:

,

где - угол между векторами.

Векторное произведение векторов:

,

где направление орта определяется правилом буравчика при вращении рукоятки буравчика от вектора к вектору . Орт ортогонален векторам и :

.

Для представления векторного произведения через компоненты векторов существует удобная форма записи в виде определителя. В декартовой системе координат имеет место представление

.

В дальнейшем нам потребуются следующие соотношения:

Векторная функция может быть результатом действия дифференциального оператора на скалярную функцию. Примером может служить градиент .

Если выбрать ортогональную систему координат так, что вектор был ортогонален поверхностям равного значения , то производные от по касательным направлениям равны нулю. Значит, вектор ориентирован в направлении, перпендикулярном поверхностям равного значения . Поэтому имеет место представление

где - координата вдоль направления .

Дивергенция (расходимость) определяется соотношением

.

Имеет место формула Гаусса-Остроградского

, (1.3)

где - объем ограниченный замкнутой поверхностью с внешней нормалью , - проекция вектора на нормаль .

- поток вектора через поверхность .

Ротор вектора определяется соотношением . В декартовой системе координат имеет место представление

.

Справедливы формулы

где - оператор Лапласа. В декартовой системе координат .