2.7. Уравнения Максвелла для сплошных материальных сред. Процедура Лоренца для получения макроскопических усредненных полей. Четыре формы записи уравнений Максвелла.
В разделе 2.1 были постулированы уравнения Максвелла для сплошных материальных сред, опираясь только на макроскопическое описание процессов. Сейчас получим эти уравнения, исходя из описания микроскопических полей, создаваемым заряженными частицами.
При классическом (не квантовом) описании, считается, что вещество – это вакуум, в котором могут быть нейтральные и заряженные частицы. Заряженные и поляризованные частицы испытывают влияние электромагнитного поля и сами модифицируют это поле. Возникает задача о самосогласованном взаимодействии электромагнитного поля в вакууме и электронов, ионов, поляризованных частиц, ядер атомов вещества. Задача эта впервые бала сформулирована Лоренцем в конце 19 века, и он же в 1902 г. предложил решение ее. Истинные (микроскопические поля) в вакууме, модифицированные заряженными частицами вещества характеризуются чрезвычайной нерегулярностью. Движущиеся заряженные частицы вещества и наводимые ими токи являются дополнительными, сторонними источниками полей в вакууме. Поэтому для микроскопических полей (ниже они отмечены индексом ) будем иметь систему в дифференциальном виде, аналогичную (2.15)-(2.19) (иногда эту систему называют уравнениями Максвелла-Лоренца):
, (2.21)
, (2.22)
, (2.23)
, (2.24)
. (2.25)
Здесь
индекс
относится к сторонним токам и зарядам.
Возможно рассмотрение системы в интегральном виде:
,
,
,
.
Эти
системы уравнений в дифференциальном
и в интегральном видах описывают поля
в вакууме, в котором «плавают» заряженные
частицы вещества. Большая нерегулярность
микроскопических полей обусловлена
малыми (атомарными) размерами частиц.
Эта нерегулярность полей для многих
задач несущественна, так как интерес
представляют усредненные поля не
содержащие эти мелкие нерегулярности.
При этом нужно ввести понятие усредненных
макроскопических
полей. Сделано
это было Лоренцом (1902 г.) на основе
процедуры усреднения в окрестности
точки наблюдения
и времени наблюдения
по физически
бесконечно малому объему
и
интервалу времени
по формуле
,
где линейный размер объема удовлетворяет двум неравенствам
,
-
среднее расстояние между частицами,
- макроскопический масштаб неоднородности
усредненных полей. В такой ситуации
внутри объема
свойства среды почти однородны.
Кроме этого, будем считать, что имеется интервал времени удовлетворяющий условию
,
где
,
-
средняя скорость электронов,
-
временной масштаб усредненного поля.
Макроскопические поля в результате усреднения системы (2.21)-(2.25) описываются уравнениями Максвелла для сплошной материальной среды (форма №1):
, (2.26)
, (2.27)
, (2.28)
, (2.29)
, (2.30)
где
,
,
суммирование происходит по всем сортам
заряженных частиц,
- заряд, концентрация, скорость частиц
сорта
,
- полная усредненная плотность
микроскопического заряда,
-
полная усредненная плотность
микроскопического тока.
По
сравнению с системой (2.21)-(2.25), в полученных
уравнениях (2.26)-(2.30) добавились две новые
неизвестные функции
.
Система уравнений (2.21)-(2.25) не замкнута
и это является принципиальным отличием
от уравнений Максвелла в вакууме. Число
уравнений в системе (2.21)-(2.25) меньше, чем
число неизвестных функций. По этой
причине, несмотря на линейность этой
системы, нельзя сделать вывод об
отсутствии нелинейных эффектов.
Дополнительные уравнения, описывающие
электродинамические свойства конкретной
среды могут быть нелинейными. В такой
ситуации у волн конечной амплитуды
будут проявляться нелинейные эффекты.
Аналогично можно провести операцию усреднения Лоренца и для уравнений в интегральной форме. Соответствующий результат такого усреднения здесь не приводим.
При
общем феноменологическом описании сред
можно выделить плотность тока свободных
зарядов
(плотность
тока проводимости),
плотность тока связанных зарядов
за счет смещения их (поляризации)
и плотность тока, обусловленную вращением
заряженных частиц в атомах и молекулах
:
.
Молекулярные
токи в макроскопическом рассмотрении
представляют собой замкнутые вихревые
образования
,
где
-
вектор
намагничивания (магнитный
момент единичного объема). Из закона
сохранения зарядов следует отсутствие
макроскопических молекулярных зарядов,
обусловливающих
:
.
Плотность зарядов разбивается только на две части, обусловленные свободными и связанными зарядами
.
Форма №2
Введя
новое вспомогательное поле
-
вектор
напряженности магнитного поля,
получим еще один вид записи системы
уравнений Максвелла:
, (2.31)
, (2.32)
, (2.33)
, (2.34)
, (2.35)
Аналогичное рассмотрение можно сделать и для интегральной формы уравнений Максвелла.
Получим
третью форму записи уравнений Максвелла
для материальных сред, введя два новых
векторных поля: вектор
поляризации
и вектор
электрической индукции
.
Вектор поляризации
определим как усредненная сумма дипольных
моментов связанных и свободных заряженных
частиц, содержащихся в единичном объеме
.
Зависимость
от координат определяется положением
объема
,
в котором производится операция
усреднения Лоренца.
Так как для плотности тока имеем представление
,
В последней формуле дифференцирование делается только по одной переменной .
Таким образом, имеем следующую связь
,
,
.
В
случае движения свободных зарядов
наличие
обусловлено движением заряженных
частиц. Используя закон сохранения
зарядов
,
можно получить связь между плотностью зарядов и вектором поляризации
.
Вектор электрической индукции вводится по формуле
.
В результате получается форма №3 для уравнений Максвелла
, (2.36)
, (2.37)
, (2.38)
, (2.39)
, (2.40)
Аналогичное рассмотрение можно сделать и для интегральной формы уравнений Максвелла.
Иногда
вводят другой вектор электрической
индукции
на основе полного вектора поляризации
,
в такой ситуации получается форма №4 уравнений Максвелла
, (2.41)
, (2.42)
, (2.43)
, (2.44)
. (2.45)
Аналогичное рассмотрение можно сделать и для интегральной формы уравнений Максвелла.
Все
четыре формы уравнений эквивалентны,
все они не замкнутые. Отметим, что поля
и
имеют непосредственный физический
смысл, так как они представляют собой
усредненные микроскопические поля.
Поля
являются
вспомогательными, для определения их
нужно дополнительно знать поляризованность
и намагниченность
.
В зависимости от конкретной решаемой
задачи, бывает более удобно использование
одной из четырех форм систем уравнений
Максвелла. В случае разрывных полей
необходимо использовать уравнения
Максвелла в интегральной форме для
микроскопических полей и делать для
них процедуру усреднения Лоренца.