Для участка поверхности , ограниченного контуром справедлива формула Стокса

, (1.4)

где - нормальная к поверхности компонента вектора . Направление интегрирования вдоль контура и направление нормали связаны правилом буравчика. Интеграл по замкнутому контуру в формуле Стокса называется циркуляцией вектора вдоль контура , а интеграл по поверхности есть поток вектора через поверхность .

2. Основные законы. Уравнения электродинамики Максвелла. Основные соотношения.

2.1. Закон сохранения зарядов. Рассмотрим произвольный фиксированный объем внутри стороннего источника, ограниченный поверхностью с единичной внешней нормалью . Этот объем является частью материальной среды с плотностью заряда (заряд единицы объема) и с плотностью тока (ток, протекающий через единицу поверхности) в ней. Через поверхность могут втекать и вытекать заряды (Рис.2.1). Будем считать, что внутри объема не происходят реакции, приводящие к появлению или уничтожению заряженных частиц. Ток через поверхность согласно определению имеет вид

.

Определение полного заряда в объеме дает соотношение

.

Связь между зарядом и током дается формулой .

Это интегральная форма закона сохранения заряда. В рамках теории сплошной среды этот закон ни откуда не выводится, он является первичным постулатом. Если выйти за рамки теории сплошной среды (см. например раздел 2.7), то этот закон может быть получен из более строгих описаний.

Ток возникает за счет изменения полного заряда в объеме . Принято, что ток считается положительным, если положительный заряд внутри объема уменьшается. В результате, в стороннем источнике, с учетом формулы Гаусса-Остроградского (1.3) получим интегральное соотношение

. (2.1)

Здесь - фиксированный , не зависящий от времени объем.

Как частный случай можно рассмотреть ситуацию непрерывных полей. Будем считать, что внутри объема нет поверхностей, на которых происходит скачкообразное изменение функций и . Так как объем в (2.1) произвольный, то из равенства нулю интеграла по объему , следует равенство нулю непрерывных подынтегральных функций:

. (2.2)

Формулы (2.1) и (2.2) это интегральная и дифференциальная формы закона сохранения зарядов. Эти формы эквивалентны только для непрерывных функций (полей и ). При необходимости рассматривать разрывные решения, необходимо использовать интегральную форму уравнения в виде закона сохранения. Это относится и к другим законам электродинамики. Запись их в интегральной форме можно использовать при получении условий на границе раздела сред (граничных условий). Формулу (2.2) также называют уравнением неразрывности.

Следует отметить, что закон сохранения (2.1), (2.2) справедлив не только в электродинамике, он справедлив и для других полей. Функция может быть плотностью того, что сохраняется (плотность энергии, плотность вещества и т.д.), Тогда - это поток того, что сохраняется (поток энергии, поток вещества и т.д.).

Отметим, что в случае вакуума, формулы (2.1), (2.2) относятся к описанию сторонних источников тока и сторонних зарядов. При исследовании полей в материальных средах формулы (2.1), (2.2) относятся к описанию плотности тока и плотности заряда в этих средах.ч

2.2. Закон Кулона и закон Гаусса. Если - полный сторонний заряд внутри замкнутой поверхности , то закон Кулона (иногда его называют законом Пуассона) для такого источника в вакууме, в интегральной форме имеет вид

, (2.3)

В частном случае точечного неподвижного заряда, в качестве поверхности можно взять сферу радиуса с центром в месте расположения заряда. Тогда интеграл в (2.3) вычисляется

и получается известное представление поля точечного заряда

.

В случае, если внутри поверхности находится среда с плотностью заряда , то формула (2.3) с учетом интегрального соотношения Гаусса-Остраградского (1.3) принимает вид

, (2.4)

Для функций, непрерывных в объеме , благодаря произвольности этого объема, получаем из (2.4) дифференциальную форму закона Кулона (Пуассона) для вакуума

, (2.5)

где - плотность сторонних зарядов.

Максвелл первым допустил, что формулы (2.3), (2.5) справедливы не только для задач статики, но и для электродинамики в вакууме (о законе Кулона для сплошных материальных сред будем говорить позже). В частном случае будем иметь , что означает непрерывность электрических силовых линий при отсутствии заряженных частиц.

В природе нет магнитных зарядов, поэтому аналогами формул (2.3) - (2.5) для магнитной индукции будет закон Гаусса

. (2.6)

Из (2.6) следует, что силовые линии поля имеют непрерывную вихревую структуру и возможно представление . Функция называется векторным потенциалом, она определяется неоднозначно. Так как , где - произвольная функция, то векторные потенциалы и будут приводить к одной и той же магнитной индукции.

2.3. Закон электромагнитной индукции Фарадея. Пусть замкнутый проводник имеет длину больше, чем диаметр поперечного сечения этого проводника и он «охватывает» площадь (см. рис.2.1). Циркуляция (эта циркуляция обычно называется электродвижущей силой -ЭДС) вектора вдоль контура имеет представление согласно определению

. (2.7)

Из экспериментов известно, что ЭДС определяется изменением во времени потока магнитной индукции через площадь

, (2.8)

где поток имеет представление

. (2.9)

Формула (2.8) – интегральная форма закона индукции Фарадея

На основе (2.7)-(2.9) с учетом формулы Стокса (1.4) и произвольности площади получается закон индукции Фарадея в дифференциальной форме для непрерывных полей и замкнутого проводника в вакууме

. (2.10)

Максвелл обобщил законы (2.7)-(2.10) на воображаемый (не реальный) контур в вакууме (на самом деле закон (2.10) справедлив и для сплошной материальной среды).

2.4. Законы Ампера, Био-Савара-Лапласса, Максвелла. Как отмечалось выше, в электростатике существует закон Кулона, описывающий взаимодействие двух зарядов .

Ампером был открыт закон взаимодействия двух токов: между двумя длинными параллельными проводами , по которым протекают токи и возникает сила взаимодействия пропорциональная произведению сил этих токов, пропорциональная длине проводов и обратно пропорциональная расстоянию между проводами. Параллельные токи притягиваются, а антипараллельные – отталкиваются.

,

где множитель 2 введен для удобства, - константа аналогичная константе в законе Кулона. Напомним связь между током и зарядом (интегральная форма закона сохранения заряда)

.

Из сравнения размерностей функций в законах Кулона и Ампера следует, что имеет размерность квадрата скорости. Экспериментальное сравнение сил и показывает, что в любой системе единиц имеется место соотношение

,

где - скорость света в вакууме. В гауссовой системе . В системе СИ, как отмечалось выше . Введем вторую константу , аналогичную соотношением

и получим представление для константы ( - единица индуктивности генри).

Пусть замкнутый контур охватывает площадку внутри стороннего источника, как показано на Рис.2.1. Экспериментально установлен закон полного тока для задач статики – интегральная форма закона Био-Савара-Лапласса:

, (2.11)

где - циркуляция вектора магнитной индукции вдоль замкнутого контура

,

- это полный ток, пронизывающий контур

.

Направление векторов и связано правилом буравчика (Рис.2.2). В формуле (2.11) - размерная величина с размерностью в системе СИ (размерность полей и параметров в электродинамике будет обсуждаться ниже) и справедливо представление . Воспользуемся формулой Стокса и получим закон Био-Савара-Лапласса (для статики) в интегральной форме в следующем виде

(2.12)

В случае статикии для непрерывных функций, пользуясь произвольностью площади можно из (2.12) получить закон Био-Савара-Лапласса в дифференциальной форме

. (2.13)

В вакууме нет носителей заряда, плотность тока в формулах (2.12), (2.13) это плотность стороннего тока. Для определения магнитостатических полей в вакууме у нас есть два уравнения, одно для дивергенции (закон Кулона), а другое для ротора вектора магнитной индукции (2.13). В материальной среде плотность тока может состоять из двух частей: плотность стороннего тока и плотность тока в веществе.

Максвеллом сделано обобщение (2.13) на случай переменных во времени полей (для задач электродинамики). Он добавил из соображений симметрии с законом индукции Фарадея одно слагаемое – плотность тока смещения в вакууме . Полученное таким образом уравнение характеризует закон Максвелла в вакууме при наличии стороннего источника:

. (2.14)

Это уравнение, в частности утверждает, что при отсутствии стороннего тока ( ) магнитная индукция может возникать за счет изменения электрического поля во времени ( ). В задачах динамики электрическое и магнитное поля взаимосвязаны – существуют электромагнитные волны. На основании своих уравнений, сформулированных в 1860-1865 гг., Максвелл в 1865 г. предсказал существование электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света в вакууме. Он предположил, что видимый свет – это электромагнитная волна определенной длины (частоты).

2.5. Уравнения электродинамики Максвелла в вакууме. Электромагнитное поле в вакууме. На основе анализа нестационарных полей в вакууме, мы пришли к системе пяти уравнений

, (2.15)

, (2.16)

, (2.17)

, (2.18)

, (2.19)

где - параметры, характеризующие сторонний источник, возбуждающий поля .

Следует отметить, что уравнения (2.17), (2.18) являются следствиями (2.15) и (2.16), при учете нулевых начальных условий и закона сохранения зарядов в стороннем источнике (2.19). Покажем это. Так как , где произвольный вектор, то из уравнений (2.15) и (2.16) получаем

,

и при учете закона сохранения зарядов (2.19) имеют место соотношения

, ,

где - не зависящие от времени произвольные функции координат. Рассматривая задачу о возбуждении полей сторонними токами и зарядами, необходимо считать, что при выполняются начальные условия поэтому . В результате приходим к уравнениям (2.17), (2.18) .

При заданном стороннем токе , система уравнений (2.15), (2.16) является замкнутой: число уравнений равно числу неизвестных функций. Эта система уравнений линейна, значит, нелинейные эффекты в вакууме отсутсивуют, для полей справедлив принцип линейной суперпозиции. Уравнения (2.15), (2.16) справедливы в системе единиц СИ в произвольной системе координат.

Переменные во времени поля и влияют друг на друга. Возникает вопрос: не могут ли они «поддерживая друг друга», существовать в вакууме без сторонних зарядов и токов? Математически вопрос сводится к тому, имеют ли однородные ( ) уравнения Максвелла нетривиальные решения. Не трудно убедиться, что таких решений бесконечно много. Исключим из системы индукцию , приняв во внимание представление

и уравнение (2.16), получим уравнение для электрического поля

.

Учтем, что и при отсутствии сторонних зарядов . В результате получим волновое уравнение

. (2.20)

Можно убедиться, что такому же уравнению удовлетворяет индукция . Ограничимся рассмотрением полей , уравнение (2.20) имеет решение

,

где - произвольные функции. При этом функция описывает стационарную волну, (ее профиль сохраняется в процессе распространения) распространяющуюся со скоростью света в вакууме в сторону . Аналогично описывает волну, распространяющуюся в противоположном направлении. Эти волны называются электромагнитными волнами, они имеют поперечную структуру: векторы и перпендикулярны направлению распространения – вектору . Кроме этого векторы и ортогональны друг другу.

Приходим к выводу, что переменные во времени электромагнитные поля могут существовать в вакууме при отсутствии сторонних зарядов и токов. Это значит, что электромагнитное поле – это физическая реальность, а не чисто формальное понятие (атрибут зарядов и токов). Можно показать, что электромагнитное поле, как и вещество, обладает энергией, импульсом и моментом.

Учет затухания полей в материальных средах приводит к отсутствию их при отсутствии сторонних источников. Другими словами это означает, что в таких материальных средах электромагнитные поля создаются стороннимиисточниками.

Уравнения Максвелла представляют собой законы движения электромагнитного поля, так же как законы Ньютона являются законами механического движения вещества.

2.6. Системы электромагнитных единиц. Обсудим выбор единиц электромагнитных величин. Предварительно рассмотрим соотношения, описывающие силы в различных ситуациях.

В электростатике взаимодействие двух точечных заряженных частиц подчиняется закону Кулона

.

Взаимодействие двух постоянных токов , протекающих по длинным тонким параллельным проводам, описывается законом Ампера

,

где - длина проводов и расстояние между ними, сила тока связана с зарядом по формуле . Из сопоставления сил следует соотношение для размерности

.

Как отмечалось выше (см. раздел 2.4), для любой системы единиц имеет место связь (об этом уже говорилось в)

,

где - скорость света в вакууме.

Из механики известно представление силы

,

где - масса тела, - скорость. Размерность силы .

Силы и имеют одинаковую размерность, значит, для размерности коэффициента должно выполняться условие

.

Уравнения Максвелла в вакууме в произвольной системе единиц имеют вид

,

,

,

,

,

где - плотность заряда и плотность тока в стороннем источнике. При отсутствии источника справедливо волновое уравнение в вакууме

.

Не зависимо от системы единиц, электромагнитная волна распространяется в вакууме со скоростью Отсюда возникает ограничение на выбор коэффициентов

,

где учтена связь . В принципе, в электродинамике возможно введение бесконечно много числа единиц. Реально используются пять систем электромагнитных единиц. Наиболее распространенными являются две системы.

Ссистема СИ:

Из вида уравнения элетромагнитной индукции Фарадея в системе СИ, следует, что . Значит, . В результате имеем:

Система Гаусса СГС:

Выбирается . В результате имеем:

Для описания электромагнитных полей применяются еще три системы единиц: электростатическая, электромагнитная и Хевисайда-Лоренца, но мы здесь обсуждать их не будем, так как они применяются редко. В дальнейшем будем использовать систему СИ.