4. Граничные условия.

4.1. Уравнения Максвелла для материальных сплошных сред в интегральной форме. Граничные условия. Дифференциальные системы уравнений Максвелла для материальных сплошных сред в четырех, приведенных выше формах, эквивалентны. Применимы они лишь для описания полей в областях, где нет разрывов (скачков) соответствующих функций. На поверхностях разрыва функций происходит обращение в бесконечность производных. Необходимо иметь граничные условия (соотношения на разрыве) для «сшивания» полей по разные стороны от поверхности разрыва. Такая ситуация возникает, в частности на фронтах ударных волн по причине проявления нелинейности. В линейных задачах разрывы полей возникают на поверхностях (контактные поверхности), разделяющих среды с различными свойствами. Конечно, такая трудность возникает из-за чрезмерной идеализации в постановке задачи. В линейной ситуации поля будут изменяться непрерывно, если заменить границу раздела сред неоднородной переходной областью. Однако это приводит к большому усложнению решения задачи. По этой причине часто используется более «грубая» идеализация резкой границы раздела сред. Боле первичными по отношению к дифференциальным уравнениям Максвелла являются уравнения Максвелла в интегральной форме. «Наиболее первичными», являются уравнения Максвелла в интегральной форме в виде законов сохранения.

Из уравнений в интегральной форме и получаются граничные условия. Отметим, что предельный переход от неоднородной переходной области к резкой границе раздела сред, дает те же граничные условия, что и уравнения в интегральной форме в виде законов сохранения. Это является дополнительным аргументом правильности граничных условий, получаемых из уравнений в интегральной форме.

Начнем с вывода граничного условия для вектора магнитной индукции . Для этого используем интегральную форму

. (4.1)

Применим (4.1) к цилиндру высотой (Рис. 4.1) и осью, перпендикулярной к границе раздела двух сред (1) и (2) и «вырезающему» из границы элемент поверхности Поток индукции в (4.1 ) складывается из потока через боковую поверхность (при этот поток стремится к нулю) и потока индукции через верхнее и нижнее основания цилиндра. Выберем площадь оснований настолько малой, чтобы компоненты и в пределах этих оснований в средах (1) и (2) были бы постоянными. Направления нормалей на основаниях цилиндра имеют противоположные направления, поэтому имеем , и формула (4.1) принимает вид

,

или

.

Это условие непрерывности нормальной к границе раздела сред компоненте вектора магнитной индукции.

Получим теперь граничное условие для вектора электрической индукции

,

входящий в третью форму уравнений Максвелла . Имеем первичную интегральную форму

, .

Используем в качестве поверхность цилиндра, изображенного на Рис.4.1. Действуя аналогично тому, как это делалось при выводе граничного условия для вектора , получим соотношение

,

где - плотность свободного поверхностного заряда на границе раздела.

При получении граничных условий для векторов и будем исходить из

уравнений

, (4.2)

. (4.3)

С этой целью выбрана прямоугольная площадка , перпендикулярная границе раздела и ограниченную контуром (Рис.4.2). Направления ортогональны друг другу. - нормаль к границе раздела. Вектор - лежит в плоскости границы раздела и вектор ортогонален площадке .

Выбирая величину достаточно малой, и устремляя вертикальный размер к нулю (при этом площадь стремится к нулю), будем иметь представления

, ,

, ,

, , , ,

получим из (4.2), (4.3) два граничных условия

, (4.4)

. (4.5)

Здесь -плотность поверхностного тока проводимости в направлении . Так как выбор (и соответственно выбор направления вектора ) произволен, граничное условие (4.4) можно записать в виде

,

где - произвольное касательное к границе раздела сред направление. Аналогичные рассуждения, позволяют представить граничное условие (4.5) в векторной форме

,

где - вектор плотности поверхностного тока проводимости.