7. Постоянный электрический ток.

7.1 Плотность электрического тока. Сначала в этом разделе не будем ограничиваться случаем электростатической ситуации и рассмотрим поля, зависящие от времени. Напомним основные понятия, связанные с протеканием тока в проводнике. Внутренние заряды проводников могут перемещаться под действием приложенного электрического поля. Это движение называется электрическим током. К проводящим средам относятся металлы, полупроводники, электролиты и ионизованные газы (плазма). Подвижными заряженными частицами в металлах и полупроводниках являются электроны. Ионы в них практически неподвижны и составляют ионный остов. Электропроводность электролитов обусловлена в основном ионами. В плазме образование тока происходит за счет движения и электронов и ионов. В медленных процессах существенно движение как тяжелых частиц (ионов), так и легких частиц (электронов). Примером могут служить ионно-звуковые и магнитогидродинамические волны. В случае быстрых (высокочастотных) процессов, перемещение ионов в плазме мало сказывается на ее электропроводность.

Плотность тока является количественной характеристикой тока:

, (7.1)

где суммирование распространяется на все подвижные заряженные частицы в рассматриваемом единичном объеме проводника, - заряд и направленная скорость частицы. Скорость зарядов зависит от поля, поэтому .

В отсутствии поля плотность тока равна нулю , так как тепловое хаотическое движение заряженных частиц приводит к нулевой их средней скорости. Если же поле в проводнике отлично от нуля, то возникает направленное движение заряженных частиц и плотность тока отлична от нуля. Под скоростью в (7.1) будем понимать среднюю направленную скорость движения частиц, тогда при наличии только одного сорта движущихся заряженных частиц, формула (7.1) принимает вид

, (7.2)

где - заряд и концентрация заряженных частиц. В случае проявления нелинейности неизвестными функциями являются и . Если ток создается несколькими сортами заряженных частиц, то в (7.2) необходимо добавить суммирование по ним. Как отмечалось выше, плотность тока связана с плотностью зарядов уравнением непрерывности (законом сохранения заряда)

. (7.3)

Сила тока, проходящего через поверхность , представляет собой поток плотности тока через эту поверхность

,

где - единичная внешняя нормаль к поверхности .

7.2. Закон Ома для постоянного тока. Согласно уравнению непрерывности (7.3), постоянному во времени току соответствует плотность заряда не зависящая от времени. Следовательно, этой ситуации должно соответствовать электрическое поле так же не зависящее от времени, так как . Ранее было показано, что электростатическое поле в проводнике равно нулю, и постоянный ток под действием такого поля не создается. Существование постоянного тока в проводнике возможно только при наличии неэлектростатических сил (сторонних сил - сторонних источников постоянного тока). Такими источниками могут быть гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы, динамомашины постоянного напряжения. Не вникая в механизмы действия этих источников, введем их чисто формально (феноменологически). Суммарная напряженность электрического поля в проводнике в рассматриваемой ситуации имеет вид

,

где - электростатическое поле, для него справедливо представление , - напряженность поля сторонних сил. Ограничиваясь рассмотрением слабых полей (линейное приближение), для изотропных проводников без пространственной дисперсии будем иметь линейную локальную связь между плотностью тока и полным полем в проводнике (закон Ома)

,

где - удельная электропроводность проводника. Соответствующее обобщение на случай анизотропного проводника имеет вид

.

Удельная электропроводность в системе СИ выражается в сименсах на метр ( ).

Конечное значение поля в проводнике не приводит к непрерывному ускорению заряда за счет потерь (диссипации), благодаря различным механизмам (примером может быть сила трения из – за упругих соударений). Рассмотрим закономерность образования постоянного тока при . Уравнение движения заряженной частицы с учетом силы трения запишем в виде

, (7.4)

где - коэффициент трения. Возможен учет и других диссипативных факторов в (7.4) (например силы вязкости). Общее решение уравнения (7.4) имеет вид суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного туравнения

,

где - постоянная интегрирования. Если , то тогда и справедливо представление

.

Этот результат можно получить иначе

.

С течением времени скорость частицы увеличивается и стремится к предельному конечному постоянному значению . Время называется временем релаксации. Так как в предельном установившемся состоянии и имеет место закон Ома , то получаем формулу для удельной электропроводности в установившемся состоянии при

.

Здесь был проанализирован простейший механизм установления закона Ома в проводящей среде.

7.3. Линейная электрическая цепь. Выясним связь между силой тока и сторонней силой в линейном проводнике, размеры сечения которого малы по сравнению с длиной. Полный ток через поперечное сечение имеет представление . Таким образом, плотность тока будет изменяться обратно пропорционально площади поперечного сечения проводника . Возникает аналогия со стационарным потоком несжимаемой жидкости в трубе (плотность тока обратно пропорциональна площади сечения трубы). Закон Ома представляет собой локальное соотношение, поэтому является функцией координаты вдоль осевой линии проводника ( разное в различных сечениях проводника). Введем в рассмотрение понятие удельное электрическое сопротивление проводника: (не путать с плотностью электрических зарядов). Векторный элемент длины проводника параллелен вектору плотности тока, поэтому справедливы соотношения

, ,

где интегрирование ведется вдоль всего замкнутого проводника, - электродвижущая сила (э.д.с.), - электрическое сопротивление проводника (сопротивление выражается в омах ). Соотношение называется законом Ома для всего замкнутого проводника (закон Ома для электрической цепи). Электродвижущая сила представляет собой циркуляцию суммарного поля , где - электростатическое поле (оно потенциально и ). Значит, электродвижущая сила это циркуляция стороннего поля вдоль замкнутого проводника (вдоль токовой линии)

.

Электродвижущая сила отлична от нуля только при условии, что непотенциальное поле. Электродвижущую силу можно интерпретировать как работу сторонних сил при перемещении положительного единичного заряда вдоль замкнутой токовой линии. Размерность э.д.с. это вольты.

Если цепь состоит из отдельных последовательно соединенных проводников с различными удельными сопротивлениями , различными длинами и поперечными сечениями (Рис. 7.1, здесь заштрихованный кружок обозначает источник э.д.с.), то сопротивление всей цепи есть сумма всех сопротивлений

, ,

где - внутренне сопротивление источника э.д.с.

7.4. Джоулева теплота. Протекание постоянного тока обеспечивается сторонними силами неэлектростатического (точнее сказать непотенциального) происхождения. Как было показано в разделе 7.2, равномерность движения заряженных частиц обеспечивается диссипативными механизмами, приводящими к торможению частиц и к установлению стационарного состояния. В разных проводниках механизмы торможения различны, ограничимся здесь учетом влияния простейшей силы трения (раздел 7.2) , где - коэффициент трения и скорость заряженной частицы. Уравнение движения одной частицы имеет вид (7.4)

,

равномерное движение осуществляется при выполнении условия

.

Работа силы над частицей за время на пути имеет вид

.

Работа силы трения равна количеству теплоты, получаемой окружающей средой. При равномерном движении работа , совершаемая силой , полностью переходит в теплоту, выделяемую в проводнике. Отнесенная к одной частице эта теплота равна . В единичном объеме выделится теплота

,

где - концентрация заряженных частиц. При учете представлений , получаем , и джоулева теплота, выделяемая в единичном объеме за

время имеет вид

,

в проводнике в объеме за время выделится теплота

.

Здесь - элемент объема. За одну секунду выделится теплота

,

эта величина выражается в ваттах .

Пусть в замкнутой цепи действует источник с э.д.с. и сопротивление проводника, подключенного к этому источнику . Ток находится из выражения . Количество теплоты, выделенное за одну секунду в проводнике и в источнике

,

и суммарное количество теплоты имеет вид

.

Отсюда следует, что выделение теплоты обусловлено внешним источником.