8. Магнитостатика.

8.1. Векторный потенциал в магнитостатике. Потенциал магнитного диполя. Закон Био – Савара – Лапласса. В магнитостатике при и имеют место уравнения

, (8.1)

(8.2)

. (8.2.А)

Временно вместо (8.2.А) возьмем уравнение электродинамики

. (8.2.Б)

Из (8.1) следует возможность введения векторного потенциала

.

Следствием уравнения (8.2.Б) является представление

,

где - произвольная функция. Имеет место уравнение

.

Здесь - плотность электрического заряда.

Будем иметь соотношение

,

Одной из возможностей выбора функции является калибровка Кулона

.

При этом имеем следствие калибровки Кулона

. (8.3)

Из уравнения (8.2) получается уравнение для векторного потенциала

.

При учете (8.3) будем иметь

. (8.4)

Уравнение (8.4) это векторное уравнение Пуассона.

В электростатике уравнению Пуассона удовлетворяло решение в виде суперпозиции (интеграла) вкладов от бесконечного числа точечных источников с объемной плотностью зарядов . Если отсутствуют поверхностные заряды, то имеется представление

.

Аналогично можно записать решение для :

. (8.5)

Из формулы (8.5) можно получить закон Био – Савара – Лапласа. Покажем это на примере замкнутого тока, протекающего по тонкому проводнику (Рис. 8.1). Будем считать, что расстояние от точки наблюдения до точек источника удовлетворяет условиям

,

где - длина проводника, - его поперечное сечение. Полный ток в проводнике не зависит от времени (рассматривается статическая ситуация) и не зависит от координат

.

Преобразуем (8.5)

.

Здесь учтено, что . Таким образом, получаем формулу для потенциала замкнутого линейного тока

. (8.6)

Получим формулу для поля , создаваемого линейным замкнутым током на основе представления (8.6) для векторного потенциала. Меняя местами операции дифференцирования и интегрирования (дифференцирование производится по координатам точки наблюдения, а интегрирование ведется по координатам источника):

.

Используем формулу , где , так как не зависит от координат точки наблюдения. Имеем

,

где . Приходим к закону Био - Савара - Лапласса

,

где введено обозначение - поле, создаваемое в точке наблюдения элементом тока длиной . Напомним, что понятие линейного тока пригодно только на больших расстояниях от источника при условии и это понятие теряет смысл вблизи проводника.

Введем среднее расстояние от точки наблюдения до контура с током. Так как , то в формуле (8.6) можно использовать разложение

(8.7)

где - радиус вектор точки интегрирования на контуре с током, - угол между векторами и . Подставляя (8.7) в (8.6), получим

. (8.8)

Первое слагаемое в (8.8) для замкнутого контура равно нулю, второе слагаемое является главным и представляет собой потенциал магнитного диполя. На больших расстояниях имеем закономерность . В силу формулы получаем закон убывания с расстоянием магнитной индукции . Напомним, что электрическое поле замкнутой электронейтральной системы зарядов на больших расстояниях изменяется по закону .

8.2. . Энергия магнитного поля системы линейных замкнутых контуров с током. Индуктивность. Индуктивность коаксиального кабеля. Для энергии магнитного поля имеется представление

. (8.9)

Ниже ограничимся рассмотрением случая и учтем соотношения

.

Формулу (8.9) представим в виде

,

где согласно формуле Гаусса – Остроградского имеем

.

В качестве объема возьмем все пространство, тогда и для магнитной энергии имеем представление

. (8.10)

Интегрирование здесь производится только по объему, где . На основе (8.10) получим выражение для магнитной энергии системы из линейных контуров с током.

.

Вектор вынесен из-под знака интеграла по , так как для линейных токов приближенно постоянен на поперечном сечении . Приходим к формуле

.

Используем формулу Стокса .

Здесь - поверхность, охватываемая контуром ; - поток магнитной индукции через поверхность . В результате получаем искомое представление для магнитной энергии системы замкнутых токов

. (8.11)

Это аналог формулы для энергии электростатического поля системы зарядов

.

В следствии линейности уравнений, имеется линейная связь между полями и (это вектора с компонентами, где - число контуров):

, ,

где - матрица с элементами , называемыми коэффициентами взаимной индукции. Эти коэффициенты зависят только от геометрии контуров (зависят от формы, размеров, взаимного расположения) и не зависят от полей. Элементы называются коэффициентами самоиндукции. Формула (8.11) представляется в виде

.

Для одного контура с током представление упрощается

,

где - индуктивность этого контура.

Найдем индуктивность элемента длины коаксиального кабеля. Поперечное сечение кабеля показано на Рис. 8.2. Пусть по внутреннему проводу радиуса течет ток , а по внешнему проводу радиуса течет ток обратного направления . Для энергии магнитного поля в элементе длины коаксиального кабеля можно написать два представления:

1). , (8.12)

2). . (8.13)

Для нахождения азимутальной составляющей используем уравнение

:

,

где в качестве поверхности выбрана поверхность круга, перпендикулярного оси кабеля. Радиус этого круга . Используем формулу Стокса

, найдем

.

Из формул (8.13) и (8.12) получим

,

что позволяет найти индуктивность элемента коаксиального кабеля

.

8.3. Магнитостатика в материальных средах. Для описания магнитного поля в вакууме достаточно одного вектора или , так как они связаны простым соотношением . В материальных средах намагниченность , магнитная индукция и магнитное поле связаны между собой линейным соотношением

.

Оно должно быть дополнено уравнениями материального состояния. В общем случае эти уравнения приводят к нелинейной зависимости . Вектор намагничивания обусловлен наличием в среде молекулярных токов. Для большинства веществ магнитная индукция является линейной функцией напряженности поля вплоть до ее очень больших значений. Только для ферромагнетиков линейная зависимость наблюдается только при малой напряженности магнитного поля и быстро сменяется нелинейной зависимостью. Для газов, жидкостей и поликристаллов различных веществ (исключая ферромагнетики) допустимо пользоваться локальной (алгебраической) связью

.

Для полей не большой амплитуды не зависит от . Для монокристаллов связь анизотропная: .

Вещества называются парамагнитными при , а при вещества называются диамагнитными. В диамагнетиках при нет собственных (спонтанных) магнитных моментов у атомов и молекул, т.е. орбитальные и спиновые магнитные моменты уравновешены. При , в результате ларморовской прецессии электронных оболочек возникают магнитные моменты у атомов и молекул. Направления этих магнитных моментов противоположно магнитному полю. В паромагнетиках при имеются собственные магнитные моменты у атомов и молекул. Собственный магнитный момент атома имеет двоякое происхождение: во – первых он возникает вследствие движения атомных электронов (орбитальный магнитный момент), и во – вторых, электрон обладает сам по себе собственным спиновым магнитным моментом. В паромагнетиках при собственные магнитные моменты атомов распределены хаотически и суммарный момент равен нулю. При , в парамагнетиках наряду со слабым эффектом диамагнетизма, проявляется более заметный эффект упорядочения магнитных моментов атомов по внешнему полю. В результате магнитное поле внутри парамагнетика увеличивается. Парамагнитная восприимчивость убывает с ростом температуры. Эффект паромагнетизма аналогичен ориентационной поляризации в диэлектриках, помещенных в электрическое поле. Для диамагнетиков и парамагнетиков имеем представление для намагниченности

,

где - магнитная восприимчивость, у диамагнетиков и у парамагнетиков. Потенциальная энергия магнитного момента имеет вид . Со стороны магнитного поля на магнитный момент действует сила

.

В случае ферромагнетиков атомы обладают собственными магнитными моментами, основную роль играют спиновые магнитные моменты определенных групп атомных электронов. Эти спиновые моменты в ничтожно слабом внешнем магнитном поле в подавляющем большинстве ориентированы по полю (этот эффект имеет квантовую природу). Этой их ориентации не препятствует тепловое движение при температуре ниже температуры Кюри. При более высокой температуре вещество становится парамагнетиком. В ферромагнетиках при происходит сильное намагничивание вещества за счет больших внутренних магнитных моментов. При этом наблюдается нелинейная связь . Может иметь место гистерезис, который приводит к остаточному намагничиванию ферромагнетиков.