10. Графический метод решения игр с матрицей 2хn или m X 2

Графическая интерпретация позволяет решать игры с матрицей 2 х n или m x 2.

Если матрица (2 х n), значит надо построить n прямых.

Итак, используя геометрическую интерпретацию, можно найти решение игр, заданных матрицей 2 хn.

Это делается следующим образом:

Каждой из n стратегий игрока Б соответствует прямая. Построив эти прямые, находят нижнюю границу выигрыша. Точка К, лежащая на нижней границе, для которой величина выигрыша наибольшая, определяет цену игры и ее решение. При этом определяются активные стратегии игрока Б (соответствующие им прямые пересекаются в точке К); из геометрических соображений можно найти значения Yj, соответствующие активным стратегиям игрока Б.

Аналогично может быть решена игра с матрицей m x 2, только в этом случае строят верхнюю границу выигрыша и на ней определяют минимум.

Следует отметить, что геометрические построения имеет смысл использовать для определения активных стратегий игроков (для этого сначала следует исследовать игру). Затем решение игры можно получить с помощью формул или из геометрических построений.

Формулы, которые рассматривались в теме "Элементарные приемы решения игр" можно использовать, так как из соответствующей матрицы исключаются все стратегии, кроме активных, и она содержит две строки и два столбца.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

1. Элементы теории статистических решений

В теории стратегических игр предполагалось, что в них принимают участие два игрока, интересы которых противоположны. Поэтому действия игроков направлены на увеличение выигрыша одного игрока и уменьшение проигрыша другого. Стратегические игры можно рассматривать как антагонистические игры двух лиц с нулевой суммой, где выигрыш одного равен проигрышу другого.

Однако во многих задачах, приводящихся к игровым, неопределенность вызвана отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие. Эти условия зависят не от сознательных действий одного игрока, а от объективной действительности, которую принято называть природой. Такие игры называют статистическими.

Создатель теории статистических игр А.Вальд показал, что если решение принимается в условиях частичной неопределенности, то основным подходом для принятия решений являются статистические игры.

Статистические игры (модели) представляют собой игру двух лиц - человека и природы с использованием человеком дополнительной статистической информации о состояниях природы.

Здесь природа не является разумным игроком, который стремится выбрать для себя оптимальные стратегии. Этот игрок не заинтересован в выигрыше. Другое дело — человек, в данном случае статистик. Он имеет целью выиграть игру с воображаемым противником, т. е. с природой.

Игрок-природа не выбирает оптимальной стратегии, но статистик должен стремиться к определению распределения вероятностей состояния природы.

Статистик (игрок А) старается действовать осмотрительно, используя, например минимаксную стратегию, позволяющую получить наименьший проигрыш.

Игрок-природа действует совершенно случайно, возможность стратегий определяется, как ее состояние, например условие погоды в данном районе, спрос на продукцию, объем перевозок, грузопоток и т.д.

Итак, основными отличиями статистической игры от стратегической являются:

– отсутствие стремления к выигрышу у игрока-природы, т. е. отсутствие антагонистического противника;

– возможность второго игрока - статистика провести статистический эксперимент для получения дополнительной информации о стратегиях природы.

Так, например, статистик, работающий в фирме «Одежда», может изучить многолетние данные о погодных условиях в местностях, где одежда будет продаваться, и в зависимости от наиболее вероятного состояния погоды выработать рекомендации, куда и какое количество партий изделий отправлять, где выгоднее и на каком уровне провести сезонное снижение цен и т. д.

Таким образом, теория статистических решений является теорией проведения статистических наблюдений, обработки этих наблюдений и их использования.

n - Количество рассматриваемых вариантов состоянии природы.

Однако в этих случаях нельзя утверждать, что принятое решение является оптимальным. Оптимальным оно является только относительно принятого распределения вероятностей состояний природы.

Если же вопрос распределения вероятности и природы неизвестен, можно воспользоваться:

1. максиминным критерием Вальда, или критерием крайнего пессимизма;

2. минимаксным критерием Сэвиджа (тоже критерий крайнего пессимизма);

3. критерием крайнего оптимизма;

4. критерием обобщенного максимина Гурвица (критерий пессимизма-оптимизма).

Критерий Вальда

Итак, если вопрос распределения вероятностей состояний природы не решен, то используют классические критерии принятия решений в условиях неопределенности.

Один из них - критерий Вальда, критерий крайнего пессимизма. Он аналогичен подходу, применяемому в стратегических играх, где противник крайне агрессивен. Критерий ориентирует лицо, принимающее решение на слишком осторожную линию поведения, поэтому им пользуются в случаях, когда необходимо обеспечить успех при любых возможных условиях.

Важно обратить внимание на исходные условия, так как возможны два подхода 1) когда решение принимается исходя из матрицы выигрышей (например, прибылей) или 2) исходя из матрицы проигрышей.