3. Чистые стратегии. Основные понятия

Простейший вид стратегической игры - игра двух лиц с нулевой суммой, (сумма выигрышей сторон равна нулю).

Игра состоит из двух ходов:

Игрок А выбирает одну из своих возможных стратегий-4,- (i=l,...,m ).

Игрок Б выбирает одну из своих стратегий Bj Q=l,...n)

Причем каждый выбор производится при полном незнании выбора другого игрока.

В результате выигрыши Фi(A_t B_f) и Ф₂(A_if B_f) каждого из игроков удовлетворяют соотношению (так как это игра двух лиц с нулевой суммой):

т.е. (Выигрыш + Проигрыш = 0).

И откуда, если мы примем, что

Строки матрицы соответствуют стратегиям Ai, столбцы — стратегиям Bj. Матрица П называется платежной или матрицей игры.

Элемент аij матрицы—выигрыш игрока А, если он выбрал стратегию Aj, а игрок Б выбрал стратегию Bj.

4. Поиск оптимальных решений с помощью чистых стратегий

Осуществим задачу поиска оптимальных решений для игроков с помощью чистых стратегий.

Пусть игрок А располагает m чистыми стратегиями А\, А2,..., Am.

Игрок Б располагает n чистыми стратегиями В\, В2,..., В_п.

Игрок А может выбрать любую стратегию Д, в ответ на которую игрок Б может выбрать любую стратегию Bj. Сочетание этих стратегий приведет к некоторому числовому результату - платежу (аij который называют выигрышем игрока А и соответственно проигрышем игрока Б.

– называется верхней ценой игры или минимаксным проигрышем или минимаксной стратегией игрока Б.

То есть, игрок Б выбирает стратегию «худшую из лучших».

Всегда, а < β

Принцип, согласно которому выбирают эти стратегии, называется принципом максимина для А и принципом минимакса для Б.

Тогда при любой стратегии, выбираемой игроком Б, игроку А обеспечивается выигрыш не менее а , а для Б при выборе им минимаксной стратегии обеспечивается проигрыш не более β .

Если а=β, то игра называется игрой с седловой точкой, а общее значение, а = β = v называется ценой игры.

Седловой точке соответствуют оптимальные стратегии игроков, их совокупность является решением игры, которое обладает следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого отклонение от его оптимальной стратегии не может быть выгодно.

Тогда оптимальным решением для обоих игроков является выбор максиминной для А и минимаксной для В стратегией.

Любое отклонение не будет выгодным.

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения. В этом случае применяют смешанные стратегии.

5. Смешанные стратегии.

Итак, если игровая матрица содержит седловую точку, то решение игры известно. Каждый из игроков применяет свою оптимальную стратегию.

Возникает вопрос нахождения решения для игр, матрицы которых не содержат седловой точки. В этих играх, а <β

Применение минимаксных стратегий для каждого из игроков обеспечивает выигрыш, не превышающий а, и проигрыш, не меньший β. Естественным для каждого игрока является вопрос увеличения выигрыша (уменьшения проигрыша). Поиски такого решения состоят в том, что игроки применяют не одну, а несколько стратегий. Выбор стратегий осуществляется случайным образом.

Случайный выбор игроком своих стратегий называется смешанной стратегией.

В игре, матрица которой имеет размерность n х m , стратегии игрока А задаются наборами вероятностей Х=(х1, x2, ..., xm, с которыми игрок применяет свои первоначальные стратегии. Эти наборы можно рассматривать как m-мерный вектор, для компонент которых выполняются условия: