§ 35. Цилиндрические проекции

Рассмотрим подробно некоторые из цилиндрических проекций.

Цилиндрическая квадратная проекция на прямом касательном ци­линдре. Проекция неперспективная. При ее построении учи­тывается условие: m = const = 1, т. е. масштабы длин вдоль меридиа­на должны не отличаться от главного. Это условие выполняется при построении сетки прямыми, взаимно перпендикулярными ли­ниями, образующими при пересечении правильные и равные по вели­чине квадраты (рис. 157). Величины отрезков меридианов между соседними параллелями определяются при этом формулой:

л лг 2л/?-Дф

^Л/1~360^Л?' ■

На полученной картографической сетке искажения будут сле­дующими: линия нулевых искажений всех видов — экватор; глав­ный масштаб длин сохраняется; на параллелях частные масштабы длин с удалением от экватора возрастают сначала незначительно, а затем все больше.

Это увеличение масштабов длин на параллелях приводит к то­ му, что на мировой карте в цилиндрической квадратной проекции \ показатель искажения длин на параллели с широтой 90° равен бесконечности. Легко сообразить, что в этой проекции показа­ тель искажения площадей численно равен показателю искажения длин — в любой точке карты п = р. В данной проекции сильно искажаются углы и формы, что видно на вытянутости очертаний географических объектов в высоких широтах. Иллюстрацией также могут служить величины численно равных показателей (n = p = k) на параллелях с разными широтами: на широте 45° они равны 1,4, ! на широте 60° — 2,0, а на широте 75° — 3,85. }

Проекция была предложена в XV в. португальским принцем | Генрихом («Мореплавателем»). Как видно из характеристики! свойств проекции, она дает небольшие искажения лишь в приэквато- ! риальной полосе, примерно до параллелей с широтами 30°—40° по обе стороны от экватора. В учебной картографии ее применяют

164

дрической квадратной проекции

с изоко-

Рис. 157. Картографическая сетка в цилин Л1МИ N = P = K,

ИЗ-за простоты построения и наглядности в показе свойств нормаль­ных цилиндрических проекций. Так она использована, например, ■ атласе для 8 класса по курсу физической географии СССР.

Цилиндрическая прямоугольная проекция на прямом секущем цилиндре. При описании цилиндрической квадратной проекции было Отмечено, что на построенной в ней картографической сетке уже I средних широтах возникают значительные искажения за счет уМЛичения масштабов длин по параллелям. Если взять для проек­тирования не касательный, а секущий цилиндр, то на образовав­шейся сетке главный масштаб будет сохраняться не на экваторе, I NI Двух параллелях сечения с широтами cpi и ф2. Чтобы сохранить М1ВНЫИ масштаб и вдоль меридианов, параллели чертят на равных РАССТОЯНИЯХ. Расчет расстояний АА\ и АВ выполняют по формулам:

АА,

_2л/?'А<р , «п 2л/?- AA-cos ф

"360°-/И ' ~ 360°-Af

ДО R — средний радиус Земли; Дф — разница широт соседних па-

МЛЛСЛей; ДА, — разница долгот соседних меридианов; М — знаме-

ЧМТМЬ главного масштаба карты.

I ?' На построенной сетке, как и в цилиндрической квадратной проек-

I ЛйИ| показатели п, р, k численно равны. «Сжатие» поверхности гло-

fM Hi участке между параллелями сечения при его изображении

ЦИЛИНДре, а затем и на плоскости приводит к тому, что в этой части

I показатели искажений меньше 1. На внешних участках сетки

*ПЬше 1. На мировой карте, построенной в этой проекции, иска-

I целом меньше, чем в квадратной проекции. Например, при

■Лалях сечения 30° на широтах 45°, 60° и 75° они соответственно

HU 1,22; 1,72 и 3,34. На экваторе эти показатели равны 0,87.

ЩШЩИ1шШШМТташ11шшт

Проекция была предложена древнегреческим философом Анакси-мандром (VII—VI вв. до н. э.). В настоящее время ее применяют иногда для построения мировых карт.

Цилиндрическая нормальная равноугольная проекция Меркатора на касательном цилиндре. В ее основе лежит условие равноуголь ности, когда в любой точке показатели тип равны (рис. 158). Для достижения этого условия при построении картографической сетки промежутки между параллелями с удалением от экватора искус ственно раздвигают. Представим себе, что параллели с глобуса переносят при проектировании на касательный цилиндр. При этом каждая из них растягивается пропорционально секансу широты параллели. В такой же мере растет показатель искажения длин по параллелям п. Чтобы в каждой точке карты показатель искажения длин по меридиану был ему равен, нужно и дуги меридианов также растягивать на каждом участке пропорционально секансу широты.

Полученная сетка обладает следующими свойствами. В ней нет искажений углов, форм малых фигур. Линия нулевых искажений всех других видов — экватор. С удалением от него искажения'возраста ют. Так, на широтах 45°, 60° и 75° показатели искажения длин

160 140 120 100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 120 140 160

160 140 120 100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 120 140 160

Рис. 158. Картографическая сетка в цилиндрической равноугольной проекци Меркатора с изображением ортодромий и локсодромий в северном и южном пол' шариях

гп = п соответственно равны 1,4; 2,0 и 3,85 (как и в цилиндри­ческой квадратной проекции). Показатели искажения площадей на этих же широтах составляют квадраты приведенных чисел, т. е. равны (с округлением) 2,4 и 15.

Эту неперспективную проекцию разработал в 1569 г. фламан­дец Герард Кремер, известный под фамилией Меркатор. В проекции Меркатора на удаленных от экватора территориях сильно искажают­ся длины и площади. Несмотря на это, длительное время проекция Меркатора применялась для построения мировых карт. Особенно широко проекция используется для создания морских карт с самым разным охватом территории — от мировых карт до карт отдельных заливов и портовых акваторий. Это связано с замечательным свойст­вом картографической сетки, построенной в проекции Меркатора, изображать прямой линией локсодромию любого направления.

Локсодромией называют линию на поверхности земного эллипсо­ида с постоянным румбом, т. е. образующую на всех участках один и тот же угол с пересекаемыми меридианами. Пользуясь картой, составленной в проекции Меркатора, штурману корабля очень легко установить направление его пути по локсодромии. Для этого до­статочно по линейке прочертить прямую линию между портами отправления и прибытия. Напомним, что кратчайшее расстояние на поверхности земного шара направлено по ортодромии (§ 29). Но движение по ортодромии связано с необходимостью постоянно менять курс корабля, поэтому рассчитанный по ортодромии путь делят на участки, на каждом из которых корабль направляют по локсодромии (рис. 158).

Мировые карты в проекции Меркатора можно встретить в учеб­ных атласах, изданных в России до 1917 г.

Цилиндрическая нормальная произвольная проекция Н. А. Ур-маева. Советский геодезист Н. А. Урмаев в 1949 г. разработал цилин­дрическую нормальную проекцию, у которой промежутки по меридиа­нам между параллелями, увеличиваясь от экватора, растягиваются не так сильно, как в проекции Меркатора (рис. 159). Этим достигают­ся меньшие искажения площадей, конечно, за счет потери свойства равноугольности. Об этом можно судить по величине показателей искажения площадей, которые на параллелях 45°, 60° и 75° соот­ветственно равны 1,6; 2,8 и 6,5. По сумме свойств проекция яв­ляется произвольной. В ней построены карты часовых поясов в Географическом атласе для учителей средней школы и в Учебном атласе мира.

Цилиндрическая косая произвольная проекция М. Д. Соловьева. Картографическая сетка в этой проекции строится путем вычисле­ний на косом секущем цилиндре, одна из линий сечения которого С поверхностью глобуса (шара) по малому кругу касается паралле­ли 60° с.ш. в точке ее пересечения с меридианом 100° в.д. (принимае­мым за средний меридиан карты). Ось цилиндра составляет с осью глобуса угол в 15° (рис. 160).

На развернутом цилиндре малый круг сечения глобуса изобра­жается прямой линией, не совпадающей с параллелью. Меридианы

167

166

Рис. 159. Картографическая сетка в цилиндрической нормальной произвольной проекции Урмаева

Рис. 161. Картографическая сетка в проекции Соловьева с изоколами площадей

Рис. 160. Положение косого секуще­го цилиндра для получения карто­графической сетки в проекции Со­ловьева

и параллели в этой проек­ции — кривые линии; проме­жутки по среднему (прямо­му) меридиану несколько увеличиваются к северу от линии малого круга сечения и уменьшаются к югу от нее. Северный полюс изобража­ется точкой.

На линии малого круга (перпендикулярной к средне­му меридиану) искажений нет (рис. 161). К северу от этой линии частные масшта­бы площади больше главно­го; показатель искажения Р в районе архипелага Север­ная Земля доходит до 2,0. К югу от линии нулевых ис­кажений показатель Р мень­ше 1, у южных границ СССР равен 0,7.

Проекция была разработана в 1937 г. для карт СССР. До не­давнего времени ее применяли для карт СССР, предназначенных для работы с учениками начальных классов. Сравнительно с дру­гими проекциями для карт СССР она обладает заметными искаже­ниями, но отличается многими методическими достоинствами. Форма сетки и особая компоновка карты в проекции Соловьева создают впе­чатление сферичности поверхности СССР и окружающих частей по­верхности Земли. Кроме того, на ней изображается весь советский сектор Арктики, вплоть до точки Северного полюса. Это позволя­ет по карте определить, какие территории в СССР расположены севернее, какие южнее. В 80-х годах проекция была заменена на более современную.

Цилиндрические поперечные проекции используются преимуще­ственно для построения крупномасштабных карт. Например, для со­ветских топографических карт применяют поперечно-цилиндриче­скую равновеликую проекцию Гаусса-Крюгера, описанную в § 8 учеб­ного пособия.

36. КОНИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

Коническая нормальная равнопромежуточная проекция Птоле­мея. Строится на нормальном касательном конусе. Условием построе­ния картографической сетки является сохранение величины главного Масштаба по всем меридианам. Сетка может быть создана простым геометрическим построением (хотя она относится к неперспектив-

^ттттяштянтшшявШШШШШШН^'

169

Рис. 162. Построение и внешний вид нормальной конической равнопромежуточной проекции Птолемея

ным). Рассмотрим здесь аналитический расчет элементов сетки с помощью рисунка 162.

Все параллели у этой сетки — дуги концентрических окружнос­тей с центром в точке S (вершине конуса). Формулу радиуса параллели касания конуса (с широтой ф₀) выводят из прямо­угольного треугольника AOS, в котором р и R — катеты, а угол ASO равен ф₀, как образованный взаимно перпендикулярными сто­ронами p = y?-ctg<po.

Величину промежутков между параллелями узнают по формуле:

_ 2л/?-Аур 360° '

Обе вычисленные величины (р и а) при построении сетки уменьшают в соответствии с выбранным главным масштабом. Как у каждой нормальной конической проекции, меридианы здесь имеют форму прямых линий, сходящихся в точке S под равными углами у. Угол у или сближение меридианов пропорционален разности долгот сосед­них меридианов и широте параллели касания конуса y==Ak-smy₀.

Построение сетки объясняет ее свойства: главный масштаб сохраняется по всем меридианам и по параллели касания конуса; частные масштабы по другим параллелям больше главного; пока­затели п, р и k численно равны между собой. Проекция произволь­ная, равнопромежуточная.

Она была впервые применена (или изобретена?) древнегречес­ким ученым К. Птолемеем во II в н.э. Искажения в ней невелики в полосе карты, ограниченной параллелями, отстоящими на 15^е к северу и югу от параллели касания конуса. Поэтому она пригодна для стран, вытянутых с запада на восток. Простота построения сетки позволяет рекомендовать ее для создания рукописных карт

170

участков территории СССР (союзных республик, областей и дру­ гих) . За параллель касания конуса выбирают при этом параллель, {проходящую через геометрический центр изображаемой территории, \ Коническая нормальная проекция Красовского. Картографичес­ кая сетка в проекции Красовского построена как бы на секущем конусе. При ее расчете учитывалось требование, чтобы на большей Части изображенной в ней территории СССР, а именно между па­ раллелями 40° и 73° с.ш., искажения площадей практически бы отсутствовали, а на крайних параллелях этого широтного пояса масштабы длин были бы равны. Сетка имеет форму, свойственную нормальным коническим проекциям. _

Линии нулевых искажений длин в этой проекции расположены вдоль параллелей с широтами 50° и 68° (с округлением). Их и можно принять за параллели сечения конуса и глобуса (шара). Промежутки по меридианам у нее равны и масштабы вдоль них близ­ки к главному (пг = 0,997). Следствием этого является близость величин показателей искажения длин по параллелям, площадей и форм. Абсолютные значения этих показателей малы, поэтому на большей части территории СССР проекция близка к равновеликим. Даже в периферийных, крайних южных и северных частях карты СССР искажения крайне малы. Так, на параллели у южной границы СССР (с одной стороны), а также на широте северных частей ■рхипелагов Северная Земля, Новосибирских островов, северной

87

.1₁..11,.1.₁...1.!_П!шл1||||111|||Ц|М|||1||1||111!Ш11||1!|!1|Ч11₁ц|!|Ц(Н)Р1!|Ш|1|!Ш|(111|.1!!.|..|!'! 'i'tj i „Цт^чшшфпш,., , .._u,_h „₍„

10° 20" 30° 40* 50° 60° 70° 80° 90° 100° 110° 120° 130° 140° 150° 160° 170° 180°

; »~дХ. I

Рис. 164. Номограмма поправочных коэффициентов для вычисления расстояний на карте СССР, составленной в конической нормальной проекции Красовского. 9 — широта, дХ — разность долгот

части полуострова Таймыр (с другой стороны) показатель искажения площадей отличается от единицы всего на 0,05 (т. е. равен 1,05). Лишь севернее перечисленных островов и полуострова он еще больше возрастает (рис. 163).

Так же более заметными к периферии оказываются искажения углов. При приближении к параллели с широтой 80° с.ш. показа­тель искажения углов со достигает величины 10°.

Хотя искажения на карте СССР* построенной в проекции Кра­совского, относительно невелики, их можно учесть при необходи­мости более точного определения расстояний между изображенными на ней пунктами. Выполняя такой расчет, измеренную по карте пря­мую линию между двумя пунктами (и вычисленную в главном масштабе) умножают на поправочный коэффициент Ко, найденный по номограмме (рис. 164). При этом если оба пункта располагаются на одной параллели, то значение коэффициента находят на номо­грамме по их широте (ф) и разности долгот (X). Если же пункты имеют разные широты, то поправочный коэффициент находят по средней их широте и разности долгот.

Проекция была разработана советским астрономом-геодезистом Ф. Н. Красовским в 1921 г. В ней построены физическая карта СССР в атласе для 6-го класса, контурные карты СССР для этого же класса, некоторые другие учебные и справочные карты СССР. /'"^ Коническая нормальная равнопромежуточная проекция Кав-райского. Построена на секущем конусе 1с параллелями сечения 47° и 62° с.ш. На построенной в этой проекции карте СССР глав­ный масштаб длин сохраняется на параллелях сечения и на всех меридианах. В пределах материковой части СССР искажения не-

	50 60 70 80		80 70 60
40 30				50 40 30
	щ щШшщтШшшшЩтштштШш
	■:\< Х-:'";:^::--':$;^^^
	60 70 80 90 100 ПО		120 130 140

Рис. 165. Карта СССР, составленная в конической нормальной равнопромежуточной проекции Каврайского, с изоколами площадей

0,90-

0.85^^:

Ъ84.

5?5 ■ад?: ■°.вв.

0,99

0,98.

^°.9е

°-*.^%\

N

'•00.^

s

■1.00

'■°os

^

\

S

0.97

■%.

Ч

°э9.

\

\

\

0,70 0.7-4 0.76

80° 75° 70° 65° 60" 85" 80" 45" 40"

as „

Ю" 20" 30° 40° 50° 60 70 80° 90° 100 ПО 120 130 140 150 160 170 180 »-ДХ

, 166. Номограмма поправочных коэффициентов для вычисления расстояний на • СССР, составленной в конической нормальной равнопромежуточной проекции райского. <|i широта, ДХ— разность долгот

172

значительны. Между параллелями сечения на широте 55° п, р и k равны 0,99, а во внешнюю сторону от параллелей сечения эти показатели больше единицы (рис. 165). По величине искажения углов проекция близка к проекции Красовского.

При необходимости измерения точных расстояний между пункта- \ ми по карте СССР, составленной в проекции Каврайского, следует / использовать поправочный коэффициент /Со, взятый с номограммы (рис. 166). Прием определения величины коэффициента аналогичен тому, что описан при характеристике проекции Красовского.

Проекция была разработана советским картографом, геодезистом и астрономом В. В. Каврайским в 1931 г. и с тех пор нашла широкое применение для карт СССР — в географических атласах для сред­ней школы (кроме карт для 3 и 4-го классов), в Географическом атласе для учителей средней школы.