4.3. РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНОЙ РАМЫ

На рис. 4.27 приведена заданная расчетная схема примера, а на рис. 4.28 содержится вариант изображения опорных связей, при котором одной реакции соответствует один опорный стержень (стержневая аналогиея опирания). Это помогает определить количество реакций и

их характер.

qa

Особенностью трехшарнирной рамы (в сравнении с ломаным брусом) является наличие в ее опорных сечениях четырех опорных реак-

103

По данным рис. 4.30 назначаются уравнения равновесия (4.9) и варианты их применения для определения реакций опорных связей. Обозначения «СЛЕВА», «СПРАВА» соответствуют вариантам уравнения «дефекта связей» по изгибающему моменту в узле D.

Далее решение проводится по последовательности Фервого варианта уравнений (4.9). Для системы (4.9.1) получим:

Решение системы уравнений проводим методом Крамера, для чего преобразовываем ее в матричную форму:

Вычисляя вспомогательные определители матрицы коэффициентов при неизвестных и применяя формулы метода Крамера, получаем значения двух из четырех неизвестных реакций:

104

Найденные значения и направления реакций Y A è X B позволяют трансформировать рис. 4.30 в рис. 4.31, à.

Следует обратить внимание на то, что с этого момента обозначе- ния реакций Y A è X B не должно появляться ни в одном из уравнений, формируемых далее.

В соответствии со вторым уравнением последовательности (4.9.1), привлекая данные рис. 4.31, à, записываем:

∑ X = 2qa − 12 q 2a + XC = 0 XC = −qa .

Полученное значение реакции позволяет преобразовать рис. 4.31, à â ðèñ. 4.31, á и использовать последний для формирования третьего уравнения последовательности (4.9.1):

∑Y = −qa +YC = 0 YC = qa.

Таким образом, реакции опорных связей определены. Это позволяет указать на расчетной схеме все нагрузки в явном виде («в

105

Переходим к назначению контролируемых сечений. С этой целью на рис. 4.33 выделено четыре участка с линейным законом изменения изгибающего момента (6-7, 7-8, 8-9, 9-10) и два участка – с параболи-

В соответствии с правилом, согласно которому эпюра изгибающего момента строится на растянутых волокнах (РВ), далее при вычислении значений внутреннего момента в контролируемых сечениях будем использовать те же обозначения местоположения растянутых волокон, что и при расчете ломаного бруса.

106

107

108

Обратите внимание, что значения некоторых моментов приведены без вычислений (например, М 2-3, Ì 3-4, Ì 8-7, Ì 10-9 ). Объяснение этому заключается в особенностях объединения сечений в точке, которые нужно «проявить», чтобы вычислить соответствующие значения:

•сечения 2, 3, 4, 7 и 9 являются сечениями «без дефектов», т.е. в этих сечениях могут возникать все виды усилий;

•сечения 8 и 10 являются безмоментными шарнирами, поэтому значения моментов в них равны нулю.

Для получения большей уверенности в правильности своих выкладок можно проверить соответствующие значения и прямыми вычислениями на основе метода сечений.

Найденные ординаты изгибающего момента используются для построения эпюры изгибающего момента на растянутых волокнах (рис. 4.35, à), а также определения «инженерных» знаков ординат эпюры поперечного усилия (рис. 4.35).

Вычисление ординат Q i-j эпюры поперечного усилия включает следующие операции:

• разложение криволинейной эпюры изгибающих моментов на уча- стке на линейную часть и параболическую (Q 5-3 , Q 3-5 , Q 3-1 , Q 1-3 );

• вычисление модулей тангенсов соответствующих углов по формулам, которые являются интерпретацией зависимости tgα(M) =

= dM/dx = Q;

• присвоение «инженерного» знака этим значениям (см. рис. 4.35, á). Для всех участков эпюры изгибающего момента рассматриваемого примера (см. рис. 4.35) соответствующие действия представлены

формулами:

109