Здесь nN – число стержней, в которых необходимо учесть де- формации растяжения–сжатия; Li – матрица внутренних уси- лий (изгибающих моментов и продольных сил) от единичных факторов, приложенных в направлении определяемых пере- мещений; LF – матрица внутренних усилий от внешних сило- вых воздействий; В – матрица упругой внутренней податли- вости комбинированной системы, учитывающей как дефор- мации изгиба, так и деформации растяжения–сжатия. Упомя- нутые матрицы имеют блочную структуру:

Формирование блоков матриц (1 .17) производится: Mi, MF, BM – по правилам, изложенным выше для рам и балок; Ni, NF, BN – по соответствующим правилам для ферм.

18.5. Определение перемещений от температурных воздействий

Формула для определения перемещений от изменения температуры в статически определимых плоских стержне-

вых системах

По-прежнему будем считать постоянными на любом участке сооружения величины коэффициента линейного тем- пературного расширения материала ak, высоты поперечного

сечения hk и приращения температуры Dtok . Эпюры внутрен-

них усилий Mik(s) и Nik(s) на участках, где происходит изме- нение температуры, при определении линейных и угловых перемещений сечений и узлов стержневой системы от еди-

ничных сосредоточенных сил и сосредоточенных моментов линейны.

Определённые интегралы соотношения (1 .19) имеют одинаковую структуру и для k-го участка могут быть записа- ны в обобщённой форме:

Здесь Ltk(s) – представление линейных функций изгибающих моментов Mik(s) и продольных сил Nik(s); Btk – представле-

ние постоянных физических и геометрических характеристик

равномерных to0,k приращений температуры (рис. 1 .7).

Определённый интеграл (1 .20) вычислим по формуле Симпсона, принимая во внимание, что

Btk = const, Tk = const,

BtkTk lòkLtk (s)ds = l6k (L(tkв) + 4L(tkc) + L(tke) )BtkTk 0

.(1 .21)

Обозначим Btk ℓk = Btk и подставим

зависимость (1 .22) в соотношение (1 .21). После несложных преобразова-

ний получим точное численное значе- ние определённого интеграла (1 .20).

= L(tkc) Btk Tk .

Формула (1 .23) по существу есть представление чис- ленного значения определённого интеграла (1 .20) в виде произведения трёх матриц первого порядка, т.е. в матричной форме. С учётом всех участков, где происходит изменение температуры, формула (1 .19) для определения перемещений в матричной форме запишется:

равно количеству определяемых перемещений n, а столбцов

– числу вариантов температурных воздействий f.

Матрица Lt – это матрица внутренних усилий (изгибаю- щих моментов и продольных сил) от единичных факторов, приложенных в направлении определяемых перемещений.

Для k-ых участков, где задано изменение температуры Dtok = const, элементы блоков Mtj и Ntj фиксируются в сре-

динных сечениях этих участков.

Матрица Bt называется матрицей температурной подат- ливости сооружения и состоит из двух блоков: Btn,r – подат- ливости, определяемой неравномерным приращением темпе- ратуры, и Bt,0 – равномерным приращением температуры.

В случае, когда для k-го участка изменения температуры ak = const, hk = const, имеем:

B(t,knr) = ahk lk , B(t,k0) = ak lk . k

Наконец, Т – это матрица приращений температуры по вариантам воздействий.

Tnr,j и T0,j, соответственно, – подматрицы неравномерных и равномерных приращений температур j-го варианта темпе- ратурного воздействия. Элементами этих матриц на k-ом участке изменения температуры являются перепады прира-

щений температур по высоте поперечного сечения Dtonr,k и приращения температуры в центре тяжести поперечного се- чения Dto0,k .

18.6. Определение перемещений от кинематических воздействий

Для определения перемещений в статически определи- мых системах от кинематических воздействий, в частности, от смещения опорных связей, используется формула:

n

D jc = - åR(k)D(k) , (18.25)

k=1

где n – число смещаемых связей.

Соотношение (18.25) представим в матричной форме,

удобной для вычисления группы перемещений от различных вариантов кинематических воздействий:

В матричной зависимости (1 .26) Dс – это матрица пере- мещений в заданном сооружении, вызванных заданными смещениями связей. Число её строк равно количеству опре- деляемых перемещений, а столбцов – числу вариантов кине- матических воздействий. Каждый вариант такого воздейст- вия может включать в себя смещение одной или группы свя- зей.

Элементы матрицы Rc представляют собой реакции в смещаемых связях от единичных факторов, приложенных в направлении определяемых перемещений.

Реакции в k-ой смещаемой связи от единичных воздей- ствий, приложенных в направлении искомых перемещений, в матрицу Rc вносятся со знаком "плюс", если их направление совпадает с направлением смещения этой связи, и со знаком "минус", – если не совпадает.

D(с) – матрица заданных смещений связей по вариантам воздействий.