угольную структуру. йбратите внимание, что при «удалении» шпренгелей, передаваемая ими нагрузка появляется в узлах основной решетки, суммируясь с уже приложенной в этих узлах, так что расчет решетки основной фермы проводится по схеме нагружения рис. 7.3,. â

Поскольку решетки ферм простой треугольной структуры и решетки шпренгелей обладают свойством мгновенной неизменяемости, то и ЗРС, в целом, также обладает этим свойством, что и требовалось доказать.

Учитывая симметрию нагружения по вертикали и отсутствие горизонтальных нагрузок (см. рис. 7.2), реакции в опорных узлах определяются значениями Y 1 = [(11P+2•0,5P)/2]-0,5P= 5,5P=Y 2. С учетом этого к расчету принимается расчетная схема с нагрузками, приведенными на рис. 7.4.

7.2. КЛАССИФИКАЦИЯ СТЕРЖНЕЙ РЕШЕТКИ ФЕРМЫ

Приступая к определению усилий в заданных стержнях, определим их категорию в зависимости от принадлежности шпренгелю, ос-

172

Эта классификация позволяет решать задачу определения усилий по частям:

•вначале рассчитать шпренгельные части усилий в соответствую- ˘их шпренгелях (нагрузку см. на рис. 7.3, à-á);

•затем рассчитать части усилий, возникаю˘ие в основной решетке (нагрузку см. на рис. 7.3,);â

•наконец, сложить полученные части, определив окончательный результат.

7.3.ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В СТЕРЖНЯХ ГРАФИЧЕСКИМ СПОСОБОМ

Âслучае, когда направления осей стержней фермы характеризуются углами, отличными от 30î, 45î èëè 90î (как в рассматриваемом примере), удобно воспользоваться графическим способом определения усилий, как в шпренгелях, так и в стержнях основной фермы.

Диаграммы усилий, соответствую˘ие графическому способу решения задач о равновесии шпренгелей, представлены на рис. 7.5-7.6.

Расчетная схема основной решетки рассматриваемого примера и диаграмма усилий в ее стержнях, полученная графическим способом,

173

приведены на рис. 7.7, à è ðèñ. 7.7, á, соответственно. Е˘е раз обра- ˘аем внимание на то, что нагрузка на основную ферму отличается от нагрузки, приложенной к узлам заданной расчетной схемы.

Суммируя в соответствии с классификацией стержней ЗРС найденные составляю ие усилий , окончательно получаем:

Полученные результаты подлежат обязательной проверке методом, независимым от использованного выше, например, аналитичес-

174

êèì способом сквозных сечений. На рис. 7.8. указаны сечения, которые нужно сделать в ЗРС для определения заданных усилий.

7.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В СТЕРЖНЯХ АНАЛИТИЧЕСКИМ СПОСОБОМ

НА ОСНОВЕ МЕТОДА СКВОЗНЫХ СЕЧЕНИЙ

Аналитическое определение˘ усилий проведем в следую ей последовательности:

• используя совместные сечения I-I è II-II, можно составить систе-

ìó шести уравнений для ñåìè усилий N7-13 , N7-9 , N9-13 , N8-11 ,N14-11 , N8-10, N 12-14 ; однако следует учесть, что усилия N 8-10 , N 10-12 è N 12-14 равны между собой, поскольку входят в состав узлов 10, 12, образованных

взаимно ортогональными стержнями (частный случай равновесия узлов!); таким образом, число неизвестных также равно шести;

суммы проекций на ось Y с тем, чтобы определить усилие N 9-11 ;

• наконец, используя кольцевое сечение IY вокруг узла 13, с уче- том симметрии нагружения ЗРС из уравнения в виде суммы проекций на ось Y можно определить усилие N 13-14 , поскольку N 7-13 è N 9-13 óæå

определены и N 13-19 = N13-7 , N 13-17 = N 13-9 .

Использование метода сечений требует определения длины перпендикуляра из заданной точки на направление силы («плечо»), а также угла между осями двух стержней. Эти данные можно получить по формулам аналитической геометрии (глава 4, п. 4.3), располагая таблицей координат всех узлов ЗРС. Для рассматриваемого примера эти координаты приведены в табл. 7.1.

175

Таблица 7.1

Вычисление расстояния d(k, i-j) от точки k с координатами (Xk , Y k ) до прямой, проходя˘ей через точку i с координатами (X i , Yi ) и точку˘ j, имею ую координаты (Xj , Y˘j ), осу ествляется по формуле:

где использованы обозначения:

Тригонометрические функции углов между прямыми, проходя˘и- ми через точки i-j è k-l, задаваемые своими координатами, определены формулами:

где использованы обозначения:

иоложительный угол между прямыми определяется в результате поворота прямой i-j вокруг точки пересечения против часовой стрелки

˘ до совме ения с прямой k-l.

176

Важно отметить, что неизвестные усилия на рисунке отсеченной части расчетной схемы считаются положительными (действуют «от узла»), а их истинный («инженерный») знак устанавливается решением соответствую его уравнения.

На рис. 7.9 приведены изображения тех частей фермы, которые выделяются сечениями I-I è II-II.

Вначале определим усилия N7-13 è N 8-10 , для чего составим систему уравнений в моментах:

Для определения усилия N9-11 воспользуемся уравнением, составленным на основе сечения III-III (ðèñ. 7.8):

Наконец, усилие N13-14 определим уравнением, составленным на основе сечения IY (ñì. ðèñ. 7.8):

177

Эту систему уравнений удобно представить в матричном виде:

Определим расстояния, указанные в матрице коэффициентов, по формулам (7.3):

так что система уравнений (7.5) приобретает вид:

Решение этой системы проводим способом Крамера:

178

Знаки усилий совпадают, а относительная погрешность определения этих усилий составляет

Погрешность решения находится в допустимых пределах. Определяя по рис. 7.10, à расстояния, необходимые для составле-

ния уравнения в моментах по формуле (7.6), и раскрывая составляю-

˘ие этой формулы, получим следую˘ую последовательность соотношений, определяю˘их усилие N7-9:

179

= (+1,12+0,00)P = +1,12P (см. рис. 7.6, рис. 7.7). Таким образом, знаки усилий совпадают, а относительная погрешность определения этого уси-

лия составляет 1,12 −1,08 •100%=3,7%<5%, что соответствует точности 1,08

инженерных вычислений.

По формуле (7.7) и рис. 7.10, á составляем уравнение для определения усилия N 8-11 :

A8,11 = −dY11 −Y8 i = −(0,5a − 0,0a) = −0,5a ;

B8,11 = X11 − X8 = 5a − 3a = 2a;

C8,11 = X8 Y11 − X11 Y8 = 3a 0,5a − 5a 0,0a = 15,a 2 ;

d(7,8 −11) = A8,11 X7 + B8,11Y7 + C8,11 = A28,11 + B28,11

= −0,5a 3a + 2a 15,a +15,a 2 (−0,5) 2 + (2a) 2

∑mom 7 = −5,5 3a + P 2a + P a +10,3P 15,a + N8−11 1455,a = 0 N8−11 = −134,P .

Графически это усилие определяется как N8−11 = N8ø1−11 = −1,37P (см. рис. 7.5). Таким образом, знаки усилий совпадают, а относительная погрешность определения этого усилия составляет

−1,37 − ( −1,34) •100%=2,2%<5%, −1,34

что соответствует точности инженерных вычислений.

180

∑mom14 = −5,5 6a + P 5a + P 4a + P 3a + P 2a + P a +

+101,P d14, 7−13 − N9−13 d14,9−13 = 0 ;

B9,13 = X13 − X9 = 6a − 4a = 2a;

C9,13 = X9 Y13 − X13 Y9 = 4a 2a − 6a 10,a = 2a 2 ;

∑mom14 = −5,5 6a + P 5a + P 4a + P 3a + P 2a + P a +

+101,P 1973,a − N9−13 1,789a = 0 N9−13 ≈ +108,P .

Графически это усилие определяется как N9−13 = N9ø2−13 = +1,12P

(см. рис. 7.6). Таким образом, знаки усилий совпадают, а относительная погрешность определения этого усилия составляет

181

1,12 −1,08 •100%=3,7%<5%, что соответствует точности инженерных

1,08

вычислений.

áПо рис. 7.11, составляем уравнение (7.9) для усилия N11-14:

∑mom13 = −5,5 6a + P 5a + P 4a + P 3a + P 2a + P a +

+10,3P 2a + N11−14 1789,a = 0 N11−14 ≈ −145,P . Графически это усилие определяется как N11−14 = N11ø1−14 = −1,49P

(см. рис. 7.5). Таким образом, знаки усилий совпадают, а относительная погрешность определения этого усилия составляет

182

= −a 3a + 2a 0a + 2a 2

(−a) 2 + (2a) 2

∑mom 8 = −5,5 3a + P 2a + P a − P a +101, P 1480,à − −108, 0,4472a − N9−11 1342,a = 0 ; N9−11 = −0,0261P ≈ 0 .

По формуле (7.2) усилие определяется как N9−11 = N7o−14 = 0. Äíà-

литически также получено значение, близкое к нулю (при этой оценке следует учитывать, что вычисленные значения всех остальных усилий по модулю колеблются от P äî 10P).

По рис. 7.13 составляем уравнение (7.11) для усилия N 13-14 :

∑Y = +2 101,P cos(α 13−7,13−14) −2 108,P cos(α 13−9,13−14) − N13−14 = 0 ;

cos(α 13−7,13−14) = A13, 7 A13,14 + B13,7 B13,14 ; D13,7 D13,14

A13, 7 = −(Y7 −Y13) = −(15,a − 2a) = 0,5a ;

B13,7 = X7 − X13 = 3a − 6a = −3a;

D13, 7 = (0,5a) 2 + (3a) 2 = 3,041a ;

A13,14 = −(Y14 −Y13) = −(0a − 2a) = 2a ; B13,14 = X14 − X13 = 6a − 6a = 0a ;

D13,14 = (2a) 2 + (0a) 2 = 2a ;

cos(α 13−9,13−14) = A13, 9 A13,14 + B13,9 B13,14 , D13,9 D13,14

cos(α 13−7,13−14) = 0,5a 2a − 3a 0a = 01644,; 3,041a 2a

183

cos(α 13−9,13−14) = 10,a 2a − 2a 0a = 0,4472; 2,236a 2a

∑Y = +2 101,P 01644, −2 108,P 0,4472 − N13−14 = 0 ; N13−14 = +2,35P .

Графически это усилие определяется как N13−14 = N13o −14 = 2,33P

(см. рис. 7.7). Таким образом, знаки усилий совпадают, а относительная погрешность определения этого усилия составляет

2,35 − 2,33 •100%=0,9%<5%.

2,33

Таким образом, погрешность не превышает значения, принятого в практике инженерных расчетов.

Итак, аналитическим способом определены все заданные сечения, причем погрешность расчетов не превышает 5%.

Нетрудно заметить, что трудоемкость надежного расчета фермы достаточно велика, тем более, расчета с несколькими вариантами нагрузки. Поэтому целесообразно провести проверку расчета е е одним способом – «загружением» линий влияния, трудоемкость которого определяется только трудоемкостью построения собственно линий влияния (ЛВ) в выделенных стержнях ЗРС.

Напомним, что ЛВ усилия — это график, который показывает, как изменяется усилие в данном стержне фермы в зависимости от положения единичной вертикальной направленной вниз сосредоточенной силы, последовательно прикладываемой статическим образом к каждому узлу какого-либо пояса фермы («грузового пояса»). парактерным для этих графиков является их кусочно-линейный характер, что широко используется при построении ЛВ. Типичным является график, со-

˘ стоя ий˘ из трех частей: левой ветви ЛВ (слева от панели, содержа ей исследуемый стержень), правой ветви ЛВ (справа от панели со стержнем) и˘передаточной части, соединяю ей эти ветви. Передаточная часть ЛВ зачастую носит характер сложной ломаной линии, а в простейших случаях является прямой линией.

˘ Су ествуют несколько способов построения линий влияния. Ниже демонстрируется построение, основанное на комбинации основных при

184