s
где L\iK - перемещение, выз
ванное всей системой сил.
Для нелинейно деформи
руемых систем
V = аРА,
1
где a=a(L\)=a(P)=I=- (3)
2
5. Работа внутренних сил плоской стержневой системы
1. Работа продольных сил (положительных при растяжении)
N |
~J |
А= Nds. |
|
|
ЕА ' |
||
|
t------r-I |
dVN = - _1N А=- N'-ds |
|
|
2 |
2ЕА |
|
|
ctS -tА}- |
||
|
|
|
|
Работа внутренних сил отрицательна, так как внутренние
силы препятствуют..деформации.
2. Работа изгибающих· моментов
~d'P
~ / |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
, |
\ |
- |
|
= - |
1 |
M2ds |
||
l..I |
\~ |
dV |
|
-Md i? = -- |
|||||
|
|
м |
|
|
|
2 |
2El |
||
М( В)М |
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Работа поперечных сил (касательных напряжений) |
|||||||||
|
|
ос = |
QS • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ь ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
L\ = |
'1 ds = - |
't |
QS d |
s |
|||
|
|
G |
ds = - |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ШЬ |
|
|
|
|
- |
|
|
- |
1 |
|
Q~ |
|
|
|
dVQ = - |
|
2 |
S'tbdyA=- (J.-~ |
||||
|
|
|
|
|
|
А |
2ОА |
||
46
где |
А |
S Ь" |
(3) |
[2 |
|||
(10=- |
~dA |
|
|
|
|
А |
|
|
~ |
® |
~ |
Для |
(J. = 1,2; |
(J. = 32/37; |
А |
tJ.~- |
|||
|
|
|
Аст |
Просуммировав элементарные работы (1) ... (3) в пределах каждого стержня, а затем по всем стержням, получим рабо
'Гу внутренних сил всей системы:
11 = -:Е SM2ds -Е S Q2ds -·Е SN 2ds |
(4) |
||
2Е! |
J.L 2ОА |
2ЕА |
|
6. ПРИНЦИП возможнЫх перемещений и упругие системы
«Для того, чтобы линейно-деформируемая система находил,!-сь
в равновесии необходимо и достаточно, чтобы работа всех внеш них и· 8нутрелних сил на любом возможном перемещении была
равна нулю».
Под возможными перемещениями понимают бесконечно малые
перемещения, вызванные силами, изменением температуры, смеще нием опор...
В качестве возможного перемещения можно брать действитель ные перемещения, так как щшейная деформируемость устраняет различие беск.онечно малых и конечных перемещениЙ. И в том
и в другом случае перемещения происходят по прямым, одинаково
направленны и имеют одинаковые относительные величины.
Когда система совершает возможное перемещение действитель
ные внешние и внутренние силы остаются неизменными, поэтому
|
V= РА. |
(5) |
7. 3ависимость между работой внешних и внутренних сил |
||
Составим выражения |
работы внешних и внутренних сил |
|
состояния (1) на перемещения.хсостояния (2). |
Согласно прин- |
|
ципу Лагранжа V12 +V12=O, откуда |
|
|
|
|
(6) |
.. Работа внутренних сил состояния (1) на |
любом возмож |
|
ном перемещении равна |
работе внешних сил |
состояния (1) с |
обратным знаком на том же hеремещении".
41
8. Теорема о 8за"мности работ (ВеШ, Е., 1872)
«Работа внешних (нли внутренних) сил состояния (1) на пе·
ремещениях состояния (2) равна работе внешних (или внутрен
IJИХ) сил состояния (2). на перемещениях состояния (1)>>
Доказательство:
Загружая систему снача,ла СIlлами (1), а затем силами (2),
получим
(8)
Меняя порядок загружения, найдем
(9)
Приравнивая у= V, получим (7), что и требовалось дока-
3~TЬ.
9. Теорема о взаимности перемещений
(Maxwell, 1. с., 1864)
"Проекция перемещения точки приложения силы Рl на ее нап
равлеНIIе, вызванного СИлой Р2 =
= 1, равна проекции перемеще
ния точки приложения силы Р2
на ее направление, вызванного
СIIJIОЙ Pl=~I:
(10)
48
Д{Jка:Iателы;тво: По теореме Бетти 1· В12=}· O~1' что И тре
бовалось доказать.
10. Теорема о взаимности реакций
(Raijleigh 1. W., 1873)
Реакция в связи (l),возникающая
от единичного перемещения свя
зи (2) ПО своему направяению
равна реакции в связи (2), воз
никающей от еДIIНИЧНОГО переме
щеНIIЯ СВЯЗII (1) по своему направ
лению:
(11)
Доказательство: Согласно теореме о взаимности работ
внешних СIШ (ВеШ) '11·0 +'21'} ='}2'}+'22 ·0, что JI требова
лось доказать.
11. Теорема о взаимности реакций и перемещений
(Мaxwell 1. С., 1864)
"Проекция перемещения точки
приложения .сиЛы Р1 на ее нап равление от перемещения Z2= 1 второй связи равна с обратным f
знаком реакции во второй связи
от силы Р1=I, то есть
~;2 = - ';1 |
(12) |
Доказательство: По теореме о взаимности работ внешних сил (ВеШ):
] .8;2 + '21·1 = 0·811 +'22 ·0,
что И доказывает (12).
12. Потенциальная энергия и различные ее выражения
Потенциальной энергией деформации называется работа вну
тренних сил на перемещениях системы из деформируемого состояния в первоначальное, недеформированное.
Для плоской стержневой системы:
п=-fl = ~ 5 |
+~ J' Q ds + ~ SNSdS > О |
(13) |
|
M2dS |
2 |
|
|
... 2Е/ |
tJ. 2ОА ... |
2ЕА |
|