Через работу внешних сил (согласно теореме Клайперона)
|
(14) |
причем |
|
d 1 = 811Р1 +012Р2+'" |
(15) |
вызвано всеми силами.
В случае заданных сил и смещений имеем:
"р. 1 j"P. |
J7f Jт1 |
д1=ОИРl+812Р.+8;здз+а;41" |
|
||||||
~_~ |
|
2. |
A2=a~1Pl+822PlI+ а~ЗДз+О24А4 |
|
|||||
f,. |
~ |
-. |
ь;-- -у |
дъ |
J~" |
' |
, |
|
|
|
|
-~ |
|
Рз=r~IР1+r~2Р2+rзsдs+rз,d" |
|
||||
|
|
|
|
Т |
|
р |
P,=r41Pl+r42P2+r4s6.S+r446.4 |
|
|
|
|
|
|
Р3 |
|
4 |
|
(16) |
|
Подставляя (16) в (14), получим смешанную формулу П |
|||||||||
|
|
|
|
П=П(Р1)+П(d1)=Пр +Пt., |
(17) |
||||
где
Если отсутствуют смещения опор или внешние силы, то
.остаются в (17) квадратичная форма (18) от P i или (19) от 6.l •
13. Теорема I(астилиано (Ca8tig1iano А., 1873)
"Частная производная от потенциальной энергии по одной
из сил равна перемещению точки приложения этой силы по ее направлению"
Доказательство:
дП |
дПр |
!' |
Р!' |
Л |
-= - |
=011 |
1+012Р'+"'=Цl, |
||
дР1 |
дР1 |
|
|
' |
что и требовалось доказать.
14. Теорема Лагранжа (Lagrange 108. IOni8, между 1766 и 1788)
"Частная производная от потенциальной Э,нергии по пере мещению равна соответствующей силе (реакции связи)>>
50
Доказательство: |
'aal1a+ 'а,!),+... = Ра= Ra |
|
|
дП |
= дПt,. = |
(21) |
|
дд. |
дд.а |
|
|
в случае теоремы Кастилиано считаются отсутствующими |
|||
смещения опор, а в |
случае теоремы Лагранжа - |
внешние |
|
силы.
15. Вторые производные от потенциальной энергии
д2П _ д2По -8 .
др2 - др2 - 11'
1 1
д2П i}2Пj
дд.2 = дд.2 = '33;
3 3
д2П д2Пр
-- =--=812 aPtaP! aptaP2
д2П д2Пt,.
-- =--='а4
дд.адд., дд.здд.f.
Из того, что 811>0 (а 'аз>О) следует, что если потенци
альная энергия принимает экстремальное значение, то это.
минимум.
16. Общая формула перемещений плоской стержневой
системы
Пусть в состоянии "а" рама на
ходится под действием нагрузки,
изменения температуры, осадки
опор·
Требуется найти проекцию пе ремещения точки D на направле ние i-i, то есть I1la •
Приложим В точ:ке D по направлению i-i силу Р1 = 1..
Реакции в сместившихся опорах положительны, если направ
лены Б сторону смещения. Приравняем нулю работу |
всех. |
сил состояния "i" на перемещениях состояния "а": |
|
lA1a + ~ R~l) CkaJ + V1a = о. |
(1) |
Пусть температура по толщине изменяется по линейному
закону
- 
51
t = |
t 1h2 |
+ t2h1 • |
(2) |
|
ер |
h1 |
+ h2 |
' |
|
|
t' = t 1 - |
t2 |
(3) |
|
Деформация удлинения элемента ds оси: |
|
|||
~= N a ds +(Х |
tcpds |
(4) |
||
|
ЕА |
|
|
|
Взаимный угол IIоворота поперечных сечений элемента ds:
м |
a.t' |
(5) |
d'fi = _а ds+- ds; |
||
El |
h' |
|
Взаимное смещение точек поперечных сечений элемента ds:
~a =..2.. ds |
== Qas ds |
(6) |
G |
О/Ь |
|
Работа А1а внутренних сил |
состояния "i" на |
перемеще |
ниях состояния "а" равна:
А1а = -·~S Mid<p.- ~ SN!~ - ~ ss '1:1 ~adA
|
1 |
1 |
IА |
|
или С учетом (4) - |
(6): |
|
|
|
А!а= -(~ .fM~7ads+ ~J~ ~~ads + ~ sN~~ads + |
|
|||
|
+ ~ S M~a.t' ds + ~SN i (Xtepds) |
(7) |
||
Используя (7) 11 |
(1), |
получим общую формулу iIеремещений: |
||
Aia = ~ S M~~a ds + ~S!1 Q~~ads + ~sN~~. ds +'~SM~tlds +
|
+ ~ SN! a.tepds - ~Юi) с(а); |
(8) |
||||
При расчете только на нагрузку в |
(8)' надо отбросить послед |
|||||
Еие три числа. |
|
|
|
|
|
|
допуская малую КОJIичественная |
погрешность, для |
расчета |
||||
рам (балок) и ферм на на'ГРУЗКУ соответственно получим: |
|
|||||
Ilip = ~SMM~/ а ds -для |
рам и балок |
(8а) |
||||
л |
'"' |
NiNp 1 |
-для |
Ф |
ерм |
(8б) |
"'jp |
= ~ |
-- |
|
|
||
|
|
ЕА |
|
|
|
|
52
17. ВЫЧИСJlение перемещений
а) Выбор единичного сидового воздействия
Состояние под
заданной наг рузкой
р
Изменение
расстояния
.,C-D"
Заданное
состояние
Вертикальное |
Горизонталь |
перемещение |
ное перемеще |
точки "К"
Угол IIОВОРО~
та сечения .К"
к"
Угол НОВОрО
та стержня
.а-Ь"
ние точки" В"
Взаимный угол
поворота сече
ния .с" и .D"
ИзменеНllе уг
ла между
стержнями
"а-Ь" и "Ь-'с"
6) Правило «nеремножения эпюр Верещагина (1925 г.)
ь |
ь |
ь |
JMp M1dx= |
JМрХ tg ~dx = |
tg ~ J МрХ dx |
а |
а |
а |
53