- •В. Г. Потемкин
- •Предисловие
- •Введение
- •Используемые обозначения
- •Часть 1. Ппп Neural Network Toolbox
- •1. Система matlab 6
- •1.1. Операционная среда matlab 6
- •Командное окно
- •Окно предыстории
- •Окно запуска
- •Окно текущего каталога
- •Окно рабочей области
- •Справочная подсистема
- •1.3. Демонстрационные примеры ппп nnt
- •2. Модель нейрона и архитектура сети
- •2.1. Модель нейрона
- •2.1.1. Простой нейрон
- •2.1.2. Функция активации
- •2.1.3. Нейрон с векторным входом
- •2.2. Архитектура нейронных сетей
- •2.2.1. Однослойные сети
- •2.2.2. Многослойные сети
- •2.2.3. Сети с прямой передачей сигнала
- •2.3. Создание, инициализация и моделирование сети Формирование архитектуры сети
- •Инициализация сети
- •Моделирование сети
- •3. Обучение нейронных сетей
- •3.1. Процедуры адаптации и обучения
- •Явление переобучения
- •Свойство обобщения
- •3.1.1. Способы адаптации и обучения
- •Адаптация нейронных сетей
- •Xlabel(''), ylabel('Выходыa(I)'),grid
- •Xlabel(''), ylabel('Весавходовw(I)'),grid
- •Xlabel(' Циклы'), ylabel('Ошибка'),grid
- •Xlabel(''), ylabel('Выходыa(I)'),grid
- •Xlabel(''), ylabel('Весавходовw(I)'),grid
- •Xlabel('Циклы'), ylabel('Ошибка'),grid
- •Xlabel(''), ylabel('Выходыa(I)'),grid
- •Xlabel(''), ylabel('Весавходовw(I)'),grid
- •Xlabel('Циклы'), ylabel('Ошибка'),grid
- •Обучение нейронных сетей
- •3.2. Методы обучения
- •3.2.1. Обучение однослойной сети
- •3.2.2. Обучение многослойной сети
- •Метод обратного распространения ошибки
- •Характеристика методов обучения
- •3.3. Алгоритмы обучения
- •3.3.1. Градиентные алгоритмы обучения Алгоритм gd
- •Алгоритм gdm
- •Алгоритм gda
- •Алгоритм Rprop
- •3.3.2. Алгоритмы метода сопряженных градиентов
- •Алгоритм cgf
- •Алгоритм cgp
- •Алгоритм cgb
- •Алгоритм scg
- •3.3.3. Квазиньютоновы алгоритмы Алгоритм bfgs
- •Алгоритм oss
- •Алгоритм lm
- •3.3.4. Алгоритмы одномерного поиска
- •Алгоритм gol
- •Алгоритм bre
- •Алгоритм hyb
- •Алгоритм cha
- •Алгоритм bac
- •3.3.5. Расширение возможностей процедур обучения
- •Переобучение
- •Метод регуляризации
- •Формирование представительной выборки
- •Предварительная обработка и восстановление данных
- •Пример процедуры обучения
- •4. Персептроны
- •4.1. Архитектура персептрона
- •4.2. Модель персептрона
- •Моделирование персептрона
- •Инициализация параметров
- •4.3. Процедуры настройки параметров
- •Правила настройки
- •Процедура адаптации
- •5. Линейные сети
- •5.1. Архитектура линейной сети
- •5.2. Создание модели линейной сети
- •5.3. Обучение линейной сети
- •Процедура настройки
- •Процедура обучения
- •5.4. Применение линейных сетей Задача классификации векторов
- •Фильтрация сигнала
- •Предсказание сигнала
- •Подавление шумов
- •Многомерные цифровые фильтры
- •6. Радиальные базисные сети
- •Модель нейрона и архитектура сети
- •Создание сети
- •Радиальная базисная сеть с нулевой ошибкой
- •Итерационная процедура формирования сети
- •Примеры радиальных базисных сетей
- •6.1. Сети grnn
- •Архитектура сети
- •Синтез сети
- •6.2. Сети pnn
- •Архитектура сети
- •Синтез сети
- •7. Сети кластеризации и классификации данных
- •7.1. Самоорганизующиеся нейронные сети
- •7.1.1. Слой Кохонена
- •Архитектура сети
- •Создание сети
- •Правило обучения слоя Кохонена
- •Правило настройки смещений
- •Обучение сети
- •7.1.2. Карта Кохонена
- •Топология карты
- •Функции для расчета расстояний
- •Архитектура сети
- •Создание сети
- •Обучение сети
- •Одномерная карта Кохонена
- •Двумерная карта Кохонена
- •Архитектура сети
- •Создание сети
- •Обучение сети Правила настройки параметров
- •Процедура обучения
- •8. Рекуррентные сети
- •8.1. Сети Элмана
- •Архитектура
- •Создание сети
- •Обучение сети
- •Проверка сети
- •8.2. Сети Хопфилда
- •Архитектура сети
- •Синтез сети
- •9. Применение нейронных сетей
- •9.1. Аппроксимация и фильтрация сигналов
- •9.1.1. Предсказание стационарного сигнала Постановка задачи
- •Синтез сети
- •Проверка сети
- •9.1.2. Слежение за нестационарным сигналом
- •Инициализация сети
- •Проверка сети
- •9.1.3. Моделирование стационарного фильтра
- •Постановка задачи
- •Синтез сети
- •Проверка сети
- •9.1.4. Моделирование нестационарного фильтра
- •Постановка задачи
- •Инициализация сети
- •Проверка сети
- •9.2. Распознавание образов
- •Постановка задачи
- •Нейронная сеть
- •Архитектура сети
- •Инициализация сети
- •Обучение
- •Обучение в отсутствие шума
- •Обучение в присутствии шума
- •Повторное обучение в отсутствие шума
- •Эффективность функционирования системы
- •9.3. Нейронные сети и системы управления
- •9.3.1. Регулятор с предсказанием
- •9.3.2. Регулятор narma-l2
- •9.3.3. Регулятор на основе эталонной модели
- •Часть2. Операторы, функции и команды
- •10. Вычислительная модель нейронной сети
- •10.1. Описание сети Описание архитектуры
- •Функции инициализации, адаптации и обучения
- •10.2. Описание элементов сети
- •Описание входов
- •Описание слоев
- •Описание выходов
- •Описание целей
- •Описание смещений
- •Описание весов входа
- •Описание весов слоя
- •Матрицы весов и векторы смещений
- •Информационные поля
- •11. Формирование моделей нейронных сетей
- •11.1. Модели сетей
- •11.1.1. Однослойные сети Персептрон
- •Линейные сети
- •11.1.2. Многослойные сети
- •Радиальные базисные сети
- •Самоорганизующиеся сети
- •Сети – классификаторы входных векторов
- •Рекуррентные сети
- •11.2. Функции активации
- •Персептрон
- •Линейные сети
- •Радиальные базисные сети
- •Самоорганизующиеся сети
- •Рекуррентные сети
- •11.3. Синаптические функции
- •Функции взвешивания и расстояний
- •Функции накопления
- •11.4. Функции инициализации
- •11.5. Функции адаптации и обучения Функции адаптации
- •Функции обучения
- •Градиентные алгоритмы обучения
- •Алгоритмы метода сопряженных градиентов
- •Квазиньютоновы алгоритмы обучения
- •11.5.1. Функции оценки качества обучения
- •11.6. Функции настройки параметров
- •11.6.1. Функции одномерного поиска
- •11.7. Масштабирование и восстановление данных
- •11.8. Вспомогательные функции
- •Утилиты вычислений
- •Операции с массивами данных
- •Графические утилиты
- •Информация о сети и ее топологии
- •11.9. Моделирование нейронных сетей и система Simulink Функции моделирования сети
- •11.9.1. Применение системы Simulink
- •Библиотеки блоков для моделирования нейронных сетей
- •Построение моделей нейронных сетей
- •Индексный указатель Команды, функции и операторы ппп Neural Network Toolbox
- •Предметный указатель
- •Литература Книги на английском языке:
- •Книги на русском языке:
- •Оглавление
Метод обратного распространения ошибки
Термин "обратное распространение" относится к процессу, с помощью которого могут быть вычислены производные функционала ошибки по параметрам сети. Этот процесс может использоваться в сочетании с различными стратегиями оптимизации. Существует много вариантов и самого алгоритма обратного распространения. Обратимся к одному из них.
Рассмотрим выражение для градиента критерия качества по весовым коэффициентам для выходного слоя M:
(3.9)
где – число нейронов в слое;–k-й элемент вектора выхода слояM для элемента выборки с номеромq.
Правило функционирования слоя M:
(3.10)
Из уравнения (3.8) следует
(3.11)
После подстановки (3.11) в (3.9) имеем:
Если обозначить
(3.12)
то получим
(3.13)
Перейдем к выводу соотношений для настройки весов слояM–1
(3.14)
где
Для слоев M–2,M–3, …,1 вычисление частных производных критерияJпо элементам матриц весовых коэффициентов выполняется аналогично. В итоге получаем следующую общую формулу:
(3.15)
где r– номер слоя
На рис. 3.6 представлена схема вычислений, соответствующая выражению (3.15).
Рис. 3.6
На этой схеме символом * обозначена операция поэлементного умножения векторов, а символом ** – умножение вектора наaT; символ, обозначающий номер элемента выборки, для краткости опущен.
Характеристика методов обучения
Методы, используемые при обучении нейронных сетей, во многом аналогичны методам определения экстремума функции нескольких переменных. В свою очередь, последние делятся на 3 категории – методы нулевого, первого и второго порядка.
В методах нулевого порядкадля нахождения экстремума используется только информация о значениях функции в заданных точках.
В методах первого порядкаиспользуетсяградиент функционала ошибкипо настраиваемым параметрам
(3.16)
где – вектор параметров;– параметр скорости обучения;– градиент функционала, соответствующие итерации с номеромk.
Вектор в направлении, противоположном градиенту, указывает направление кратчайшего спуска по поверхности функционала ошибки. Если реализуется движение в этом направлении, то ошибка будет уменьшаться. Последовательность таких шагов в конце концов приведет к значениям настраиваемых параметров, обеспечивающим минимум функционала. Определенную трудность здесь вызывает выбор параметра скорости обучения . При большом значении параметрасходимость будет быстрой, но существует опасность пропустить решение или уйти в неправильном направлении. Классическим примером является ситуация, когда алгоритм очень медленно продвигается по узкому оврагу с крутыми склонами, перепрыгивая с одного на другой. Напротив, при малом шаге, вероятно, будет выбрано верное направление, однако при этом потребуется очень много итераций. В зависимости от принятого алгоритма параметр скорости обучения может быть постоянным или переменным. Правильный выбор этого параметра зависит от конкретной задачи и обычно осуществляется опытным путем; в случае переменного параметра его значение уменьшается по мере приближения к минимуму функционала.
В алгоритмах сопряженного градиента[12] поиск минимума выполняется вдоль сопряженных направлений, что обеспечивает обычно более быструю сходимость, чем при наискорейшем спуске. Все алгоритмы сопряженных градиентов на первой итерации начинают движение в направлении антиградиента
(3.17)
Тогда направление следующего движения определяется так, чтобы оно было сопряжено с предыдущим. Соответствующее выражение для нового направления движения является комбинацией нового направления наискорейшего спуска и предыдущего направления:
(3.18)
Здесь – направление движения,– градиент функционала ошибки,– коэффициент соответствуют итерации с номеромk. Когда направление спуска определено, то новое значение вектора настраиваемых параметроввычисляется по формуле
. (3.19)
Методы второго порядка требуют знания вторых производных функционала ошибки. К методам второго порядка относится метод Ньютона. Основной шаг метода Ньютона определяется по формуле
, (3.20)
где – вектор значений параметров наk-й итерации; H– матрица вторых частных производных целевой функции, или матрица Гессе;– вектор градиента наk-й итерации. Во многих случаях метод Ньютона сходится быстрее, чем методы сопряженного градиента, но требует больших затрат из-за вычисления гессиана. Для того чтобы избежать вычисления матрицы Гессе, предлагаются различные способы ее замены приближенными выражениями, что порождает так называемыеквазиньютоновыалгоритмы(алгоритм метода секущих плоскостей OSS [1], алгоритм LM Левенберга – Марквардта [17]).